微积分学示例

$f (x) = 2 x^{2} - 5 x + 2$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $2 x^{2} - 5 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$4 x - 5 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.1.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x - 5 + 0$

解题步骤 1.1.1.4.2

将 $4 x - 5$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 4 x - 5$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $4 x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.2.2.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.2.3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 + 0$

解题步骤 1.1.2.3.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 4$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $4$ 。

$4$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $4 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$4 = 0$

解题步骤 1.2.2

因为 $4 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

因为二阶导数是正数，所以图像向上凹。

图像向上凹

解题步骤 4

微积分学 示例

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