微积分学示例

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x - 1$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

$f' (x) = \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.1.2.1

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f' (x) = \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.4.2

将 $x + 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.5

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.8

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.2.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.1.3.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{x + 1 - x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1

合并 $x + 1 - x - - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$f' (x) = \frac{0 + 1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.2.1.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 1)}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1.2.1.2.1

将 $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ 重写为 ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{2})}^{- 1})$

解题步骤 1.1.2.1.2.2

将 ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2 \cdot - 1})$

解题步骤 1.1.2.1.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- 2})$

解题步骤 1.1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 2}$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 1))$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$f'' (x) = 2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1))$

解题步骤 1.1.2.2.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 2 (- 2 {(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1))$

解题步骤 1.1.2.3

求微分。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - 4 ({(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1))$

解题步骤 1.1.2.3.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = - 4 {(x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

解题步骤 1.1.2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 4 {(x + 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

解题步骤 1.1.2.3.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 4 {(x + 1)}^{- 3} (1 + 0)$

解题步骤 1.1.2.3.5

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.3.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 4 {(x + 1)}^{- 3} \cdot 1$

解题步骤 1.1.2.3.5.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 4 {(x + 1)}^{- 3}$

解题步骤 1.1.2.4

化简。

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解题步骤 1.1.2.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (x) = - 4 \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.4.2

合并项。

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解题步骤 1.1.2.4.2.1

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{4}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- \frac{4}{{(x + 1)}^{3}}$ 。

$- \frac{4}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{4}{{(x + 1)}^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{4}{{(x + 1)}^{3}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$4 = 0$

解题步骤 1.2.3

因为 $4 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 2

求 $f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ 的定义域。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{x - 1}{x + 1}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 2.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq - 1}$

区间计数法：

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq - 1}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, - 1)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 4) = - \frac{4}{{((- 4) + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简分母。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $- 4$ 和 $1$ 相加。

$f'' (- 4) = - \frac{4}{{(- 3)}^{3}}$

解题步骤 4.2.1.2

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 4) = - \frac{4}{- 27}$

解题步骤 4.2.2

将负号移到分数的前面。

$f'' (- 4) = \frac{4}{27}$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $\frac{4}{27}$ 。

$\frac{4}{27}$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, - 1)$ 上向上凹，因为 $f'' (- 4)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, - 1)$ 上为向上凹

解题步骤 5

将区间 $(- 1, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = - \frac{4}{{((0) + 1)}^{3}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简分母。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f'' (0) = - \frac{4}{1^{3}}$

解题步骤 5.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$f'' (0) = - \frac{4}{1}$

解题步骤 5.2.2

化简表达式。

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解题步骤 5.2.2.1

用 $4$ 除以 $1$ 。

$f'' (0) = - 1 \cdot 4$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f'' (0) = - 4$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 4$ 。

$- 4$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- 1, \infty)$ 上向下凹，因为 $f'' (0)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- 1, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 6

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, - 1)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- 1, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 7

微积分学 示例

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