微积分学示例

$f (x) = 10 x^{2} - 10 \sin (2 x)$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $10 x^{2} - 10 \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (10 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [10 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 10 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$f' (x) = 20 x + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10 \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 10 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

$f' (x) = 20 x - 10 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$f' (x) = 20 x - 10 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 1.1.1.3.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 1.1.1.3.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 1.1.1.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 1.1.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

解题步骤 1.1.1.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) \cdot 2)$

解题步骤 1.1.1.3.6

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$f' (x) = 20 x - 10 (2 \cdot \cos (2 x))$

解题步骤 1.1.1.3.7

将 $2$ 乘以 $- 10$ 。

$f' (x) = 20 x - 20 \cos (2 x)$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $20 x - 20 \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 20 \cos (2 x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (20 x) + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

解题步骤 1.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [20 x]$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

因为 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $20 x$ 对 $x$ 的导数是 $20 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

解题步骤 1.1.2.2.3

将 $20$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 20 + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

解题步骤 1.1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 20 \cos (2 x)]$ 。

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解题步骤 1.1.2.3.1

因为 $- 20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 20 \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 20 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 。

$f'' (x) = 20 - 20 \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

解题步骤 1.1.2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.1.2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$f'' (x) = 20 - 20 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 1.1.2.3.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 1.1.2.3.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 1.1.2.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 1.1.2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

解题步骤 1.1.2.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

解题步骤 1.1.2.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 20 - 20 (- 2 \sin (2 x))$

解题步骤 1.1.2.3.7

将 $- 2$ 乘以 $- 20$ 。

$f'' (x) = 20 + 40 \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $20 + 40 \sin (2 x)$ 。

$20 + 40 \sin (2 x)$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $20 + 40 \sin (2 x) = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$20 + 40 \sin (2 x) = 0$

解题步骤 1.2.2

从等式两边同时减去 $20$ 。

$40 \sin (2 x) = - 20$

解题步骤 1.2.3

将 $40 \sin (2 x) = - 20$ 中的每一项除以 $40$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $40 \sin (2 x) = - 20$ 中的每一项都除以 $40$ 。

$\frac{40 \sin (2 x)}{40} = \frac{- 20}{40}$

解题步骤 1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $40$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{40 \sin (2 x)}{40} = \frac{- 20}{40}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

用 $\sin (2 x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (2 x) = \frac{- 20}{40}$

解题步骤 1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.3.1

约去 $- 20$ 和 $40$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.3.1.1

从 $- 20$ 中分解出因数 $20$ 。

$\sin (2 x) = \frac{20 (- 1)}{40}$

解题步骤 1.2.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.3.1.2.1

从 $40$ 中分解出因数 $20$ 。

$\sin (2 x) = \frac{20 \cdot - 1}{20 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.3.3.1.2.2

约去公因数。

$\sin (2 x) = \frac{20 \cdot - 1}{20 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.3.3.1.2.3

重写表达式。

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 1.2.3.3.2

将负号移到分数的前面。

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.4

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

解题步骤 1.2.5

化简右边。

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解题步骤 1.2.5.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{6}$ 。

$2 x = - \frac{π}{6}$

解题步骤 1.2.6

将 $2 x = - \frac{π}{6}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $2 x = - \frac{π}{6}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

解题步骤 1.2.6.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.6.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

解题步骤 1.2.6.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

解题步骤 1.2.6.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.6.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.6.3.2

乘以 $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.6.3.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{π}{6}$ 。

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

解题步骤 1.2.6.3.2.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$x = - \frac{π}{12}$

解题步骤 1.2.7

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

解题步骤 1.2.8

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 1.2.8.1

从 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

解题步骤 1.2.8.2

得出的角 $\frac{7 π}{6}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 共边。

$2 x = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 1.2.8.3

将 $2 x = \frac{7 π}{6}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.2.8.3.1

将 $2 x = \frac{7 π}{6}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

解题步骤 1.2.8.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.8.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.8.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

解题步骤 1.2.8.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

解题步骤 1.2.8.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.8.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.8.3.3.2

乘以 $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.8.3.3.2.1

将 $\frac{7 π}{6}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.8.3.3.2.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{7 π}{12}$

解题步骤 1.2.9

求 $\sin (2 x)$ 的周期。

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解题步骤 1.2.9.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 1.2.9.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

解题步骤 1.2.9.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 1.2.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.9.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 1.2.9.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 1.2.10

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 1.2.10.1

将 $π$ 加到 $- \frac{π}{12}$ 以求正角。

$- \frac{π}{12} + π$

解题步骤 1.2.10.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{12}{12}$ 。

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

解题步骤 1.2.10.3

合并分数。

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解题步骤 1.2.10.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{12}{12}$ 。

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

解题步骤 1.2.10.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

解题步骤 1.2.10.4

化简分子。

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解题步骤 1.2.10.4.1

将 $12$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

解题步骤 1.2.10.4.2

从 $12 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{11 π}{12}$

解题步骤 1.2.10.5

列出新角。

$x = \frac{11 π}{12}$

解题步骤 1.2.11

$\sin (2 x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = 20 + 40 \sin (2 (0))$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 20 + 40 \sin (0)$

解题步骤 4.2.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f'' (0) = 20 + 40 \cdot 0$

解题步骤 4.2.1.3

将 $40$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 20 + 0$

解题步骤 4.2.2

将 $20$ 和 $0$ 相加。

$f'' (0) = 20$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $20$ 。

$20$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (0)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 5

微积分学 示例

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