微积分学示例

$y = x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1

将 $y = x^{\frac{2}{3}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

解题步骤 2.1.1.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

解题步骤 2.1.1.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 2.1.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 2.1.1.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

解题步骤 2.1.1.5.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

解题步骤 2.1.1.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

解题步骤 2.1.1.7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.7.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.1.1.7.2

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 。

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.1

因为 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ 。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 2.1.2.2

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.2.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

解题步骤 2.1.2.2.2

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

解题步骤 2.1.2.2.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{3}}]$

解题步骤 2.1.2.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{3}$ 。

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 2.1.2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 2.1.2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 2.1.2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 2.1.2.7

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

解题步骤 2.1.2.7.2

从 $- 1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

解题步骤 2.1.2.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

解题步骤 2.1.2.9

组合 $x^{- \frac{4}{3}}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

解题步骤 2.1.2.10

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ 。

$- \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{3 \cdot 3}$

解题步骤 2.1.2.11

乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.11.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{9}$

解题步骤 2.1.2.11.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{4}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$ 。

$- \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$

解题步骤 2.2.2

将分子设为等于零。

$2 = 0$

解题步骤 2.2.3

因为 $2 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 3

求 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 的定义域。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\sqrt[3]{x^{2}}$

解题步骤 3.2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

因为二阶导数是负数，所以图像向下凹。

图像向下凹

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例