微积分学示例

$y = \frac{x^{2}}{x - 6}$

解题步骤 1

将 $y = \frac{x^{2}}{x - 6}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 6}$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 2.1

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x - 6$ 。

$\frac{(x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x - 6) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.2.2

将 $2$ 移到 $x - 6$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (x - 6) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.2.3

根据加法法则， $x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$\frac{2 (x - 6) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (x - 6) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.2.5

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x - 6) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.1.1.2.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x - 6) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.2.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x - 6) x - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.3

化简。

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解题步骤 2.1.1.3.1

运用分配律。

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 6) x - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.3.2

运用分配律。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 6 x - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.3.3

化简分子。

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解题步骤 2.1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.3.3.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.1.3.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 6 x - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.3.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 6 x - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.3.3.1.2

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{2 x^{2} - 12 x - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.3.3.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 12 x}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.3.4

从 $x^{2} - 12 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.1.1.3.4.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x - 12 x}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.3.4.2

从 $- 12 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.3.4.3

从 $x \cdot x + x \cdot - 12$ 中分解出因数 $x$ 。

$f' (x) = \frac{x (x - 12)}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x (x - 12)$ 且 $g (x) = {(x - 6)}^{2}$ 。

$\frac{{(x - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x (x - 12)] - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.2

将 ${({(x - 6)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(x - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x (x - 12)] - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(x - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x (x - 12)] - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x - 12$ 。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x \frac{d}{d x} [x - 12] + (x - 12) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.4

求微分。

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解题步骤 2.1.2.4.1

根据加法法则， $x - 12$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ 。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]) + (x - 12) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x (1 + \frac{d}{d x} [- 12]) + (x - 12) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.4.3

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x (1 + 0) + (x - 12) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.4.4

化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x \cdot 1 + (x - 12) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.4.4.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x + (x - 12) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x + (x - 12) \cdot 1) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.4.6

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.1.2.4.6.1

将 $x - 12$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x + x - 12) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.4.6.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (2 x - 12) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x - 6$ 。

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解题步骤 2.1.2.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 6$ 。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (2 x - 12) - x (x - 12) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 6])}{{(x - 6)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (2 x - 12) - x (x - 12) (2 u \frac{d}{d x} [x - 6])}{{(x - 6)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3

使用 $x - 6$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (2 x - 12) - x (x - 12) (2 (x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6])}{{(x - 6)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.6

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.1.2.6.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (2 x - 12) - 2 x (x - 12) ((x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6])}{{(x - 6)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.6.2

从 ${(x - 6)}^{2} (2 x - 12) - 2 x (x - 12) ((x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6])$ 中分解出因数 $x - 6$ 。

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解题步骤 2.1.2.6.2.1

从 ${(x - 6)}^{2} (2 x - 12)$ 中分解出因数 $x - 6$ 。

$\frac{(x - 6) ((x - 6) (2 x - 12)) - 2 x (x - 12) ((x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6])}{{(x - 6)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.6.2.2

从 $- 2 x (x - 12) ((x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6])$ 中分解出因数 $x - 6$ 。

$\frac{(x - 6) ((x - 6) (2 x - 12)) + (x - 6) (- 2 x (x - 12) (\frac{d}{d x} [x - 6]))}{{(x - 6)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.6.2.3

从 $(x - 6) ((x - 6) (2 x - 12)) + (x - 6) (- 2 x (x - 12) (\frac{d}{d x} [x - 6]))$ 中分解出因数 $x - 6$ 。

$\frac{(x - 6) ((x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) (\frac{d}{d x} [x - 6]))}{{(x - 6)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.7

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.7.1

从 ${(x - 6)}^{4}$ 中分解出因数 $x - 6$ 。

$\frac{(x - 6) ((x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) (\frac{d}{d x} [x - 6]))}{(x - 6) {(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.7.2

约去公因数。

$\frac{(x - 6) ((x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) (\frac{d}{d x} [x - 6]))}{(x - 6) {(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.7.3

重写表达式。

$\frac{(x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) (\frac{d}{d x} [x - 6])}{{(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.8

根据加法法则， $x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$\frac{(x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) (1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.10

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) (1 + 0)}{{(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.11

化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) \cdot 1}{{(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.11.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12)}{{(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.12

化简。

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解题步骤 2.1.2.12.1

运用分配律。

$\frac{(x - 6) (2 x - 12) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.12.2

化简分子。

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解题步骤 2.1.2.12.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.12.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x - 6) (2 x - 12)$ 。

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解题步骤 2.1.2.12.2.1.1.1

运用分配律。

$\frac{x (2 x - 12) - 6 (2 x - 12) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.12.2.1.1.2

运用分配律。

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 12 - 6 (2 x - 12) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.12.2.1.1.3

运用分配律。

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 12 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.12.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.2.12.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.12.2.1.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 12 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.12.2.1.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.2.12.2.1.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 12 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.12.2.1.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 12 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.12.2.1.2.1.3

将 $- 12$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{2 x^{2} - 12 \cdot x - 6 (2 x) - 6 \cdot - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.12.2.1.2.1.4

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{2 x^{2} - 12 x - 12 x - 6 \cdot - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.12.2.1.2.1.5

将 $- 6$ 乘以 $- 12$ 。

$\frac{2 x^{2} - 12 x - 12 x + 72 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.12.2.1.2.2

从 $- 12 x$ 中减去 $12 x$ 。

$\frac{2 x^{2} - 24 x + 72 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.12.2.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.2.12.2.1.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} - 24 x + 72 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.12.2.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} - 24 x + 72 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.12.2.1.4

将 $- 12$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{2 x^{2} - 24 x + 72 - 2 x^{2} + 24 x}{{(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.12.2.2

合并 $2 x^{2} - 24 x + 72 - 2 x^{2} + 24 x$ 中相反的项。

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解题步骤 2.1.2.12.2.2.1

从 $2 x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$\frac{- 24 x + 72 + 0 + 24 x}{{(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.12.2.2.2

将 $- 24 x + 72$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 24 x + 72 + 24 x}{{(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.12.2.2.3

将 $- 24 x$ 和 $24 x$ 相加。

$\frac{0 + 72}{{(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.12.2.2.4

将 $0$ 和 $72$ 相加。

$f'' (x) = \frac{72}{{(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{72}{{(x - 6)}^{3}}$ 。

$\frac{72}{{(x - 6)}^{3}}$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{72}{{(x - 6)}^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{72}{{(x - 6)}^{3}} = 0$

解题步骤 2.2.2

将分子设为等于零。

$72 = 0$

解题步骤 2.2.3

因为 $72 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 3

求 $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 6}$ 的定义域。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{x^{2}}{x - 6}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x - 6 = 0$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$x = 6$

解题步骤 3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 6}$

区间计数法：

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 6}$

解题步骤 4

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 6)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = \frac{72}{{((0) - 6)}^{3}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简分母。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $0$ 中减去 $6$ 。

$f'' (0) = \frac{72}{{(- 6)}^{3}}$

解题步骤 5.2.1.2

对 $- 6$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0) = \frac{72}{- 216}$

解题步骤 5.2.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $72$ 和 $- 216$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

从 $72$ 中分解出因数 $72$ 。

$f'' (0) = \frac{72 (1)}{- 216}$

解题步骤 5.2.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.2.1

从 $- 216$ 中分解出因数 $72$ 。

$f'' (0) = \frac{72 \cdot 1}{72 \cdot - 3}$

解题步骤 5.2.2.1.2.2

约去公因数。

$f'' (0) = \frac{72 \cdot 1}{72 \cdot - 3}$

解题步骤 5.2.2.1.2.3

重写表达式。

$f'' (0) = \frac{1}{- 3}$

解题步骤 5.2.2.2

将负号移到分数的前面。

$f'' (0) = - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- \frac{1}{3}$ 。

$- \frac{1}{3}$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- \infty, 6)$ 上向下凹，因为 $f'' (0)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, 6)$ 上为向下凹

解题步骤 6

将区间 $(6, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $8$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (8) = \frac{72}{{((8) - 6)}^{3}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分母。

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解题步骤 6.2.1.1

从 $8$ 中减去 $6$ 。

$f'' (8) = \frac{72}{2^{3}}$

解题步骤 6.2.1.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (8) = \frac{72}{8}$

解题步骤 6.2.2

用 $72$ 除以 $8$ 。

$f'' (8) = 9$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $9$ 。

$9$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(6, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (8)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(6, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 7

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, 6)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(6, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例