微积分学示例

$y = {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1

将 $y = {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.1.1.1.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.1.1.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.1.1.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.1.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.1.1.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.1.1.5.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.1.1.6

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.6.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.1.1.6.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ 。

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.1.1.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.1.1.7

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.1.1.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.1.1.9

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0)$

解题步骤 2.1.1.10

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.10.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x)$

解题步骤 2.1.1.10.2

组合 $2$ 和 $\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} x$

解题步骤 2.1.1.10.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} x$

解题步骤 2.1.1.10.4

组合 $\frac{4}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = \frac{4 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.1

因为 $\frac{4}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ 。

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 2.1.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.3

使用幂法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.3.1

将 ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2.3.1.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.3.3

将 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.4.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.8

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.8.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.8.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.9

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.9.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.9.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.9.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.9.4

组合 $\frac{1}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.10

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.12

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.13

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.13.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.13.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.13.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.13.4

组合 $\frac{- 2 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x \cdot x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.14

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x^{1} x)}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.17

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.18

将负号移到分数的前面。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.19

要将 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.20

组合 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.21

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.22

通过指数相加将 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.22.1

移动 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.22.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.22.3

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.22.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.22.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{1} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.23

化简 ${(x^{2} + 1)}^{1} \cdot 3$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{(x^{2} + 1) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.24

将 $3$ 移到 $x^{2} + 1$ 的左侧。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.25

将 $\frac{\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 重写为乘积形式。

$\frac{4}{3} (\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.1.2.26

将 $\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.27

通过指数相加将 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ 乘以 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.27.1

移动 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 2.1.2.27.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.27.3

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.27.4

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.28

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ 。

$\frac{4 (3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2})}{3 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 2.1.2.29

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4 (3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.30

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.30.1

运用分配律。

$\frac{4 (3 x^{2} + 3 \cdot 1 - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.30.2

运用分配律。

$\frac{4 (3 x^{2}) + 4 (3 \cdot 1) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.30.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.30.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.30.3.1.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{12 x^{2} + 4 (3 \cdot 1) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.30.3.1.2

乘以 $4 (3 \cdot 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.30.3.1.2.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{12 x^{2} + 4 \cdot 3 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.30.3.1.2.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{12 x^{2} + 12 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.30.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{12 x^{2} + 12 - 8 x^{2}}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.30.3.2

从 $12 x^{2}$ 中减去 $8 x^{2}$ 。

$\frac{4 x^{2} + 12}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.30.4

从 $4 x^{2} + 12$ 中分解出因数 $4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.30.4.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (x^{2}) + 12}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.30.4.2

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot 3}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.30.4.3

从 $4 x^{2} + 4 \cdot 3$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ 。

$\frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}} = 0$

解题步骤 2.2.2

将分子设为等于零。

$4 (x^{2} + 3) = 0$

解题步骤 2.2.3

求解 $x$ 的方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1

将 $4 (x^{2} + 3) = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1.1

将 $4 (x^{2} + 3) = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 (x^{2} + 3)}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 2.2.3.1.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1.2.1

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 (x^{2} + 3)}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 2.2.3.1.2.1.2

用 $x^{2} + 3$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + 3 = \frac{0}{4}$

解题步骤 2.2.3.1.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$x^{2} + 3 = 0$

解题步骤 2.2.3.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x^{2} = - 3$

解题步骤 2.2.3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 3}$

解题步骤 2.2.3.4

化简 $\pm \sqrt{- 3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.4.1

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

解题步骤 2.2.3.4.2

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

解题步骤 2.2.3.4.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 2.2.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i \sqrt{3}$

解题步骤 2.2.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i \sqrt{3}$

解题步骤 2.2.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

解题步骤 3

求 $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ 的定义域。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\sqrt[3]{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = \frac{4 ({(0)}^{2} + 3)}{9 {({(0)}^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{4 (0 + 3)}{9 {(0^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9 {(0^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 5.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 5.2.2.3

一的任意次幂都为一。

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$f'' (0) = \frac{12}{9 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$f'' (0) = \frac{12}{9}$

解题步骤 5.2.3.3

约去 $12$ 和 $9$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.3.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$f'' (0) = \frac{3 (4)}{9}$

解题步骤 5.2.3.3.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.3.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

解题步骤 5.2.3.3.2.2

约去公因数。

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

解题步骤 5.2.3.3.2.3

重写表达式。

$f'' (0) = \frac{4}{3}$

解题步骤 5.2.4

最终答案为 $\frac{4}{3}$ 。

$\frac{4}{3}$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (0)$ 为正数。

图像向上凹

解题步骤 6

微积分学 示例

微积分学示例