微积分学示例

$g (x) = 7 (\sqrt[3]{x})$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.1.1.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$7 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 1.1.1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$7 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 1.1.1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$7 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.1.1.6

在公分母上合并分子。

$7 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.1.1.7

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$7 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 1.1.1.7.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$7 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 1.1.1.8

将负号移到分数的前面。

$7 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 1.1.1.9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$7 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 1.1.1.10

组合 $7$ 和 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 。

$\frac{7 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 1.1.1.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$f' (x) = \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $\frac{7}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{7}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ 。

$\frac{7}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 1.1.2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1.2.2.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 。

$\frac{7}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

解题步骤 1.1.2.2.2

将 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{7}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

解题步骤 1.1.2.2.2.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.2.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{7}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

解题步骤 1.1.2.2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{7}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{3}}]$

解题步骤 1.1.2.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{7}{3} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{3}}]$

解题步骤 1.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{2}{3}$ 。

$\frac{7}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

解题步骤 1.1.2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{7}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 1.1.2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{7}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.1.2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{7}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.1.2.7

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{7}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

解题步骤 1.1.2.7.2

从 $- 2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{7}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

解题步骤 1.1.2.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{7}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

解题步骤 1.1.2.9

组合 $x^{- \frac{5}{3}}$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{7}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

解题步骤 1.1.2.10

将 $\frac{7}{3}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ 。

$- \frac{7 (x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2)}{3 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.2.11

乘。

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解题步骤 1.1.2.11.1

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$- \frac{14 x^{- \frac{5}{3}}}{3 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.2.11.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{14 x^{- \frac{5}{3}}}{9}$

解题步骤 1.1.2.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{5}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - \frac{14}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 1.1.3

$g (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- \frac{14}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ 。

$- \frac{14}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{14}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{14}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$14 = 0$

解题步骤 1.2.3

因为 $14 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

因为二阶导数是负数，所以图像向下凹。

图像向下凹

解题步骤 4

微积分学 示例

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