微积分学示例

$f (x) = x \sqrt{x + 9}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 9}$ 重写成 ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}}) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 9$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 9$ 。

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.1.3.3

使用 $x + 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.1.6

在公分母上合并分子。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.1.7

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.1.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.1.8

合并分数。

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解题步骤 1.1.1.8.1

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.1.8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = x (\frac{{(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.1.8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.1.8.4

组合 $\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 9) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.1.9

根据加法法则， $x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.1.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.1.11

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.1.12

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.12.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.1.12.2

将 $\frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.1.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

解题步骤 1.1.1.14

将 ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.1.15

要将 ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.1.16

组合 ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.1.17

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{x + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.1.18

通过指数相加将 ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.1.18.1

移动 ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{x + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.1.18.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{x + {(x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.1.18.3

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{x + {(x + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.1.18.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{x + {(x + 9)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.1.18.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{x + (x + 9) \cdot 2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.1.19

化简 ${(x + 9)}^{1} \cdot 2$ 。

$f' (x) = \frac{x + (x + 9) \cdot 2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.1.20

将 $2$ 移到 $x + 9$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{x + 2 \cdot (x + 9)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.1.21

化简。

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解题步骤 1.1.1.21.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 2 \cdot 9}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.1.21.2

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.21.2.1

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 18}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.1.21.2.2

将 $x$ 和 $2 x$ 相加。

$f' (x) = \frac{3 x + 18}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.1.21.3

从 $3 x + 18$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 1.1.1.21.3.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (x) = \frac{3 (x) + 18}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.1.21.3.2

从 $18$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (x) = \frac{3 x + 3 \cdot 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.1.21.3.3

从 $3 x + 3 \cdot 6$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (x) = \frac{3 (x + 6)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 (x + 6)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x + 6}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.1.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + 6$ 且 $g (x) = {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

将 ${({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.1.2.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.2.1

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.1.2.3.2.2

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x + 9}$

解题步骤 1.1.2.4

化简。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x + 9}$

解题步骤 1.1.2.5

求微分。

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解题步骤 1.1.2.5.1

根据加法法则， $x + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6)) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x + 9}$

解题步骤 1.1.2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (6)) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x + 9}$

解题步骤 1.1.2.5.3

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x + 9}$

解题步骤 1.1.2.5.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.5.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x + 9}$

解题步骤 1.1.2.5.4.2

将 ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x + 9}$

解题步骤 1.1.2.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 9$ 。

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解题步骤 1.1.2.6.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x + 9$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

解题步骤 1.1.2.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

解题步骤 1.1.2.6.3

使用 $x + 9$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

解题步骤 1.1.2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

解题步骤 1.1.2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

解题步骤 1.1.2.9

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

解题步骤 1.1.2.10

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

解题步骤 1.1.2.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

解题步骤 1.1.2.11

合并分数。

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解题步骤 1.1.2.11.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

解题步骤 1.1.2.11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{{(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

解题步骤 1.1.2.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

解题步骤 1.1.2.12

根据加法法则， $x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (9)))}{x + 9}$

解题步骤 1.1.2.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (9)))}{x + 9}$

解题步骤 1.1.2.14

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0))}{x + 9}$

解题步骤 1.1.2.15

合并分数。

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解题步骤 1.1.2.15.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{x + 9}$

解题步骤 1.1.2.15.2

将 $\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 9}$

解题步骤 1.1.2.15.3

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 9}$ 。

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 9)}$

解题步骤 1.1.2.16

化简。

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解题步骤 1.1.2.16.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (x + 9)}$

解题步骤 1.1.2.16.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (x + 9)}$

解题步骤 1.1.2.16.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 9}$

解题步骤 1.1.2.16.4

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.16.4.1

从 $3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 1.1.2.16.4.1.1

从 $3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (- x - 1 \cdot 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

解题步骤 1.1.2.16.4.1.2

从 $3 (- x - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 9}$

解题步骤 1.1.2.16.4.1.3

从 $3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})$ 中分解出因数 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 9}$

解题步骤 1.1.2.16.4.2

使 $u_{2} = {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 。用 $u_{2}$ 代入替换所有出现的 ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.2.16.4.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 u_{2} u_{2} - x - 6}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

解题步骤 1.1.2.16.4.2.2

通过指数相加将 $u_{2}$ 乘以 $u_{2}$ 。

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解题步骤 1.1.2.16.4.2.2.1

移动 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (u_{2} u_{2}) - x - 6}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

解题步骤 1.1.2.16.4.2.2.2

将 $u_{2}$ 乘以 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {u_{2}}^{2} - x - 6}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

解题步骤 1.1.2.16.4.3

使用 ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

解题步骤 1.1.2.16.4.4

化简。

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解题步骤 1.1.2.16.4.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.16.4.4.1.1

将 ${({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.16.4.4.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

解题步骤 1.1.2.16.4.4.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.16.4.4.1.1.2.1

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

解题步骤 1.1.2.16.4.4.1.1.2.2

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (x + 9) - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

解题步骤 1.1.2.16.4.4.1.2

化简。

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (x + 9) - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

解题步骤 1.1.2.16.4.4.1.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 x + 2 \cdot 9 - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

解题步骤 1.1.2.16.4.4.1.4

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 x + 18 - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

解题步骤 1.1.2.16.4.4.2

从 $2 x$ 中减去 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x + 18 - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

解题步骤 1.1.2.16.4.4.3

从 $18$ 中减去 $6$ 。

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x + 12}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

解题步骤 1.1.2.16.5

合并项。

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解题步骤 1.1.2.16.5.1

组合 $3$ 和 $\frac{x + 12}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 9}$

解题步骤 1.1.2.16.5.2

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 18}$

解题步骤 1.1.2.16.5.3

将 $\frac{\frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 18}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x + 18}$

解题步骤 1.1.2.16.5.4

将 $\frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{2 x + 18}$ 。

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 18)}$

解题步骤 1.1.2.16.6

化简分母。

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解题步骤 1.1.2.16.6.1

从 $2 x + 18$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.1.2.16.6.1.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 18)}$

解题步骤 1.1.2.16.6.1.2

从 $18$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot 9)}$

解题步骤 1.1.2.16.6.1.3

从 $2 x + 2 \cdot 9$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 (x + 9))}$

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (x + 9))}$

解题步骤 1.1.2.16.6.2

合并指数。

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解题步骤 1.1.2.16.6.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (x + 9)}$

解题步骤 1.1.2.16.6.2.2

对 $x + 9$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{4 ((x + 9) {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 1.1.2.16.6.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.2.16.6.2.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.2.16.6.2.5

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

解题步骤 1.1.2.16.6.2.6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$3 (x + 12) = 0$

解题步骤 1.2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $3 (x + 12) = 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.1.1

将 $3 (x + 12) = 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 (x + 12)}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 1.2.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.1.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 (x + 12)}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 1.2.3.1.2.1.2

用 $x + 12$ 除以 $1$ 。

$x + 12 = \frac{0}{3}$

解题步骤 1.2.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$x + 12 = 0$

解题步骤 1.2.3.2

从等式两边同时减去 $12$ 。

$x = - 12$

解题步骤 1.2.4

排除不能使 $\frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ 成立的解。

$无解$

解题步骤 2

求 $f (x) = x \sqrt{x + 9}$ 的定义域。

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解题步骤 2.1

将 $\sqrt{x + 9}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x + 9 \geq 0$

解题步骤 2.2

从不等式两边同时减去 $9$ 。

$x \geq - 9$

解题步骤 2.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[- 9, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq - 9}$

区间计数法：

$[- 9, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq - 9}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$[- 9, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $[- 9, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = \frac{3 ((0) + 12)}{4 {((0) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

从 $3 ((0) + 12)$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 + 3))}{4 {((0) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

从 $4 {((0) + 9)}^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 + 3))}{4 ({((0) + 9)}^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 4.2.2.2

约去公因数。

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 + 3))}{4 {((0) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.2.2.3

重写表达式。

$f'' (0) = \frac{3 (0 + 3)}{{((0) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.2.3

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 3}{{(0 + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.2.4

化简分母。

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解题步骤 4.2.4.1

将 $0$ 和 $9$ 相加。

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 3}{9^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.2.4.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 3}{{(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.2.4.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 3}{3^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 4.2.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.4.1

约去公因数。

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 3}{3^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 4.2.4.4.2

重写表达式。

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 3}{3^{3}}$

解题步骤 4.2.4.5

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 3}{27}$

解题步骤 4.2.5

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.5.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f'' (0) = \frac{9}{27}$

解题步骤 4.2.5.2

约去 $9$ 和 $27$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

$f'' (0) = \frac{9 (1)}{27}$

解题步骤 4.2.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.5.2.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

解题步骤 4.2.5.2.2.2

约去公因数。

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

解题步骤 4.2.5.2.2.3

重写表达式。

$f'' (0) = \frac{1}{3}$

解题步骤 4.2.6

最终答案为 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3}$

解题步骤 4.3

图像在区间 $[- 9, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (0)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $[- 9, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例