微积分学示例

$f (x) = x - 3 x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1.1

根据加法法则， $x - 3 x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$f' (x) = 1 - 3 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 1.1.1.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 1.1.1.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.1.1.2.5

在公分母上合并分子。

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.1.1.2.6

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 1.1.1.2.6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 1.1.1.2.7

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 1.1.1.2.8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$f' (x) = 1 - 3 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 1.1.1.2.9

组合 $- 3$ 和 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 。

$f' (x) = 1 + \frac{- 3 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 1.1.1.2.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$f' (x) = 1 + \frac{- 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.1.2.11

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (x) = 1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.1.2.12

约去公因数。

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解题步骤 1.1.1.2.12.1

从 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (x) = 1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 1.1.1.2.12.2

约去公因数。

$f' (x) = 1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.1.2.12.3

重写表达式。

$f' (x) = 1 + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.1.2.13

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1.1

根据加法法则， $1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 1.1.2.1.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 1.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 1.1.2.2.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 1.1.2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 1.1.2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = 0 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 1.1.2.2.3.3

使用 $x^{\frac{2}{3}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 1.1.2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$f'' (x) = 0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 1.1.2.2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.2.6

将 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.2.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = 0 - (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.2.6.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot - 2$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.6.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $- 2$ 。

$f'' (x) = 0 - (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.2.6.2.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 0 - (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.2.6.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.2.9

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.2.10

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.2.10.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.2.11

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.2.12

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.2.13

组合 $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 和 $x^{- \frac{4}{3}}$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.2.14

通过指数相加将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{- \frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.14.1

移动 $x^{- \frac{4}{3}}$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.2.14.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 0 + \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.2.14.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = 0 + \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.2.14.4

从 $- 4$ 中减去 $1$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.2.14.5

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = 0 + \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.2.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{5}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.2.16

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 0 + 1 (\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.2.17

将 $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.2.18

将 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $0$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + 0$

解题步骤 1.1.2.2.19

将 $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 1.1.2.3

将 $0$ 和 $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ 。

$\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$2 = 0$

解题步骤 1.2.3

因为 $2 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 2

求 $f (x) = x - 3 x^{\frac{1}{3}}$ 的定义域。

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解题步骤 2.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 2.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$x - 3 \sqrt[3]{x^{1}}$

解题步骤 2.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$x - 3 \sqrt[3]{x}$

解题步骤 2.2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

因为二阶导数是正数，所以图像向上凹。

图像向上凹

解题步骤 4

微积分学 示例

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