微积分学示例

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $[- 1, 1]$

解题步骤 1

如果 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上连续且在区间 $(a, b)$ 上可微，则区间 $(a, b)$ 内至少存在一个实数 $c$ 使得 $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。中值定理表述的是曲线在 $x = c$ 处的切线斜率与经过点 $(a, f (a))$ 和点 $(b, f (b))$ 的直线的斜率之间的关系。

如果 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续

且如果 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上可微，

然后存在至少一个点， $[a, b]$ 中的 $c$ ： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。

解题步骤 2

检验 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 是否连续。

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解题步骤 2.1

要求函数在 $[- 1, 1]$ 上是否连续，请求出 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 的定义域。

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解题步骤 2.1.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 2.1.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\sqrt[3]{x^{1}}$

解题步骤 2.1.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\sqrt[3]{x}$

解题步骤 2.1.2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 3

求导数。

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解题步骤 3.1

求一阶导数。

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解题步骤 3.1.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.1.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

解题步骤 3.1.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 3.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 3.1.5

化简分子。

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解题步骤 3.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

解题步骤 3.1.5.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

解题步骤 3.1.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

解题步骤 3.1.7

化简。

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解题步骤 3.1.7.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.1.7.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4

判断导数在 $(- 1, 1)$ 上是否连续。

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解题步骤 4.1

要求函数在 $(- 1, 1)$ 上是否连续，请求出 $f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 的定义域。

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解题步骤 4.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 4.1.2

将 $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

解题步骤 4.1.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 4.1.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 4.1.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 重写成 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 4.1.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.1.3.2.2.1

化简 ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 4.1.3.2.2.1.1

对 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 运用乘积法则。

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 4.1.3.2.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 4.1.3.2.2.1.3

将 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1.3.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 4.1.3.2.2.1.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 4.1.3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$27 x^{2} = 0^{3}$

解题步骤 4.1.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.1.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$27 x^{2} = 0$

解题步骤 4.1.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1.3.3.1

将 $27 x^{2} = 0$ 中的每一项除以 $27$ 并化简。

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解题步骤 4.1.3.3.1.1

将 $27 x^{2} = 0$ 中的每一项都除以 $27$ 。

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

解题步骤 4.1.3.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 4.1.3.3.1.2.1

约去 $27$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.3.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

解题步骤 4.1.3.3.1.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{0}{27}$

解题步骤 4.1.3.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 4.1.3.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $27$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 4.1.3.3.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 4.1.3.3.3

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 4.1.3.3.3.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 4.1.3.3.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 4.1.3.3.3.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 4.1.4

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

解题步骤 4.2

$f' (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 上不连续，因为 $0$ 不在 $f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 的定义域内。

该函数不连续。

解题步骤 5

因为导数 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 在 $(- 1, 1)$ 上不连续，所以函数在 $(- 1, 1)$ 上不可微。

该函数不可微。

解题步骤 6

微积分学 示例

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