微积分学示例

$f (x) = x^{3} + x - 1$ , $(0, 2)$

解题步骤 1

如果 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上连续且在区间 $(a, b)$ 上可微，则区间 $(a, b)$ 内至少存在一个实数 $c$ 使得 $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。中值定理表述的是曲线在 $x = c$ 处的切线斜率与经过点 $(a, f (a))$ 和点 $(b, f (b))$ 的直线的斜率之间的关系。

如果 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续

且如果 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上可微，

然后存在至少一个点， $[a, b]$ 中的 $c$ ： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。

解题步骤 2

检验 $f (x) = x^{3} + x - 1$ 是否连续。

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解题步骤 2.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 3

求导数。

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解题步骤 3.1

求一阶导数。

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解题步骤 3.1.1

根据加法法则， $x^{3} + x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} + 1 + 0$

解题步骤 3.1.5

将 $3 x^{2} + 1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} + 1$

解题步骤 3.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} + 1$ 。

$3 x^{2} + 1$

解题步骤 4

判断导数在 $(0, 2)$ 上是否连续。

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解题步骤 4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4.2

$f' (x)$ 在 $(0, 2)$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 5

该函数在 $(0, 2)$ 上可微，因为其导数在 $(0, 2)$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 6

$f (x)$ 满足中值定理的两个条件。它在 $[0, 2]$ 上连续，并且在 $(0, 2)$ 上可微。

$f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上连续，在 $(0, 2)$ 上可微。

解题步骤 7

在区间 $[0, 2]$ 内计算 $f (a)$ 。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{3} + 0 - 1$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

去掉圆括号。

$f (0) = {(0)}^{3} + 0 - 1$

解题步骤 7.2.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 - 1$

解题步骤 7.2.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 - 1$

解题步骤 7.2.4

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$f (0) = - 1$

解题步骤 7.2.5

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 8

在区间 $[0, 2]$ 内计算 $f (b)$ 。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = {(2)}^{3} + 2 - 1$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

去掉圆括号。

$f (2) = {(2)}^{3} + 2 - 1$

解题步骤 8.2.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (2) = 8 + 2 - 1$

解题步骤 8.2.3

将 $8$ 和 $2$ 相加。

$f (2) = 10 - 1$

解题步骤 8.2.4

从 $10$ 中减去 $1$ 。

$f (2) = 9$

解题步骤 8.2.5

最终答案为 $9$ 。

$9$

解题步骤 9

求解 $x$ 的 $3 x^{2} + 1 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ ， $3 x^{2} + 1 = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$ 。

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解题步骤 9.1

化简 $\frac{(9) - (- 1)}{(2) - (0)}$ 。

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解题步骤 9.1.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$3 x^{2} + 1 = \frac{9 + 1}{2 - (0)}$

解题步骤 9.1.1.2

将 $9$ 和 $1$ 相加。

$3 x^{2} + 1 = \frac{10}{2 - (0)}$

解题步骤 9.1.2

化简分母。

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解题步骤 9.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$3 x^{2} + 1 = \frac{10}{2 + 0}$

解题步骤 9.1.2.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2} + 1 = \frac{10}{2}$

解题步骤 9.1.3

用 $10$ 除以 $2$ 。

$3 x^{2} + 1 = 5$

解题步骤 9.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$3 x^{2} = 5 - 1$

解题步骤 9.2.2

从 $5$ 中减去 $1$ 。

$3 x^{2} = 4$

解题步骤 9.3

将 $3 x^{2} = 4$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 9.3.1

将 $3 x^{2} = 4$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

解题步骤 9.3.2

化简左边。

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解题步骤 9.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

解题步骤 9.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{4}{3}$

解题步骤 9.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

解题步骤 9.5

化简 $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 9.5.1

将 $\sqrt{\frac{4}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 9.5.2

化简分子。

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解题步骤 9.5.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 9.5.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

解题步骤 9.5.3

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 9.5.4

合并和化简分母。

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解题步骤 9.5.4.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 9.5.4.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 9.5.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 9.5.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 9.5.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 9.5.4.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 9.5.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.5.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 9.5.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.5.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.5.4.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.5.4.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 9.5.4.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 9.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 9.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 9.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 9.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 10

点 $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 处存在一条切线，且与经过端点 $a = 0$ 和 $b = 2$ 的直线平行。

解题步骤 11

点 $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 处存在一条切线，且与经过端点 $a = 0$ 和 $b = 2$ 的直线平行。

解题步骤 12

微积分学 示例

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