微积分学示例

$f (x) = x^{2} + 1$ , $[5, 11]$

解题步骤 1

如果 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上连续且在区间 $(a, b)$ 上可微，则区间 $(a, b)$ 内至少存在一个实数 $c$ 使得 $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。中值定理表述的是曲线在 $x = c$ 处的切线斜率与经过点 $(a, f (a))$ 和点 $(b, f (b))$ 的直线的斜率之间的关系。

如果 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续

且如果 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上可微，

然后存在至少一个点， $[a, b]$ 中的 $c$ ： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。

解题步骤 2

检验 $f (x) = x^{2} + 1$ 是否连续。

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解题步骤 2.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 在 $[5, 11]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 3

求导数。

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解题步骤 3.1

求一阶导数。

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解题步骤 3.1.1

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 3.1.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 2 x$

解题步骤 3.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 x$ 。

$2 x$

解题步骤 4

判断导数在 $(5, 11)$ 上是否连续。

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解题步骤 4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4.2

$f' (x)$ 在 $(5, 11)$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 5

该函数在 $(5, 11)$ 上可微，因为其导数在 $(5, 11)$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 6

$f (x)$ 满足中值定理的两个条件。它在 $[5, 11]$ 上连续，并且在 $(5, 11)$ 上可微。

$f (x)$ 在 $[5, 11]$ 上连续，在 $(5, 11)$ 上可微。

解题步骤 7

在区间 $[5, 11]$ 内计算 $f (a)$ 。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f (5) = {(5)}^{2} + 1$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (5) = 25 + 1$

解题步骤 7.2.2

将 $25$ 和 $1$ 相加。

$f (5) = 26$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $26$ 。

$26$

解题步骤 8

在区间 $[5, 11]$ 内计算 $f (b)$ 。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $11$ 替换变量 $x$ 。

$f (11) = {(11)}^{2} + 1$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

对 $11$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (11) = 121 + 1$

解题步骤 8.2.2

将 $121$ 和 $1$ 相加。

$f (11) = 122$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $122$ 。

$122$

解题步骤 9

求解 $x$ 的 $2 x = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ ， $2 x = \frac{- (f (11) + f (5))}{- (11 + 5)}$ 。

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解题步骤 9.1

化简。

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解题步骤 9.1.1

将 $- 1$ 乘以 $26$ 。

$2 x = \frac{122 - 26}{(11) - (5)}$

解题步骤 9.1.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$2 x = \frac{122 - 26}{11 - 5}$

解题步骤 9.1.3

从 $122$ 中减去 $26$ 。

$2 x = \frac{96}{11 - 5}$

解题步骤 9.1.4

从 $11$ 中减去 $5$ 。

$2 x = \frac{96}{6}$

解题步骤 9.1.5

用 $96$ 除以 $6$ 。

$2 x = 16$

解题步骤 9.2

将 $2 x = 16$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $2 x = 16$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{16}{2}$

解题步骤 9.2.2

化简左边。

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解题步骤 9.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{16}{2}$

解题步骤 9.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{16}{2}$

解题步骤 9.2.3

化简右边。

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解题步骤 9.2.3.1

用 $16$ 除以 $2$ 。

$x = 8$

解题步骤 10

点 $x = 8$ 处存在一条切线，且与经过端点 $a = 5$ 和 $b = 11$ 的直线平行。

解题步骤 11

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