微积分学示例

$f (x) = \sqrt{x} - \frac{1}{9} x$ , $[0, 81]$

解题步骤 1

如果 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上连续且在区间 $(a, b)$ 上可微，则区间 $(a, b)$ 内至少存在一个实数 $c$ 使得 $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。中值定理表述的是曲线在 $x = c$ 处的切线斜率与经过点 $(a, f (a))$ 和点 $(b, f (b))$ 的直线的斜率之间的关系。

如果 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续

且如果 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上可微，

然后存在至少一个点， $[a, b]$ 中的 $c$ ： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。

解题步骤 2

检验 $f (x) = \sqrt{x} - \frac{1}{9} x$ 是否连续。

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解题步骤 2.1

要求函数在 $[0, 81]$ 上是否连续，请求出 $f (x) = \sqrt{x} - \frac{1}{9} x$ 的定义域。

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解题步骤 2.1.1

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x \geq 0$

解题步骤 2.1.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 在 $[0, 81]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 3

求导数。

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解题步骤 3.1

求一阶导数。

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解题步骤 3.1.1

根据加法法则， $\sqrt{x} - \frac{1}{9} x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

解题步骤 3.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

解题步骤 3.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

解题步骤 3.1.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

解题步骤 3.1.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

解题步骤 3.1.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

解题步骤 3.1.2.6

化简分子。

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解题步骤 3.1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

解题步骤 3.1.2.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

解题步骤 3.1.2.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

解题步骤 3.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

因为 $- \frac{1}{9}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{9} x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{9} \cdot 1$

解题步骤 3.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{9}$

解题步骤 3.1.4

化简。

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解题步骤 3.1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{9}$

解题步骤 3.1.4.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{9}$

解题步骤 3.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{9}$ 。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{9}$

解题步骤 4

判断导数在 $(0, 81)$ 上是否连续。

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解题步骤 4.1

要求函数在 $(0, 81)$ 上是否连续，请求出 $f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{9}$ 的定义域。

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解题步骤 4.1.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 4.1.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}} - \frac{1}{9}$

解题步骤 4.1.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{9}$

解题步骤 4.1.2

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x \geq 0$

解题步骤 4.1.3

将 $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$2 \sqrt{x} = 0$

解题步骤 4.1.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.1.4.2

化简方程的两边。

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解题步骤 4.1.4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.1.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.1.4.2.2.1

化简 ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.4.2.2.1.1

对 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.1.4.2.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.1.4.2.2.1.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1.4.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 4.1.4.2.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.4.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 4.1.4.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$4 x^{1} = 0^{2}$

解题步骤 4.1.4.2.2.1.4

化简。

$4 x = 0^{2}$

解题步骤 4.1.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.1.4.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 x = 0$

解题步骤 4.1.4.3

将 $4 x = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 4.1.4.3.1

将 $4 x = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 4.1.4.3.2

化简左边。

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解题步骤 4.1.4.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 4.1.4.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{4}$

解题步骤 4.1.4.3.3

化简右边。

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解题步骤 4.1.4.3.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$x = 0$

解题步骤 4.1.5

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(0, \infty)$

集合符号：

${x | x > 0}$

区间计数法：

$(0, \infty)$

集合符号：

${x | x > 0}$

解题步骤 4.2

$f' (x)$ 在 $(0, 81)$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 5

该函数在 $(0, 81)$ 上可微，因为其导数在 $(0, 81)$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 6

$f (x)$ 满足中值定理的两个条件。它在 $[0, 81]$ 上连续，并且在 $(0, 81)$ 上可微。

$f (x)$ 在 $[0, 81]$ 上连续，在 $(0, 81)$ 上可微。

解题步骤 7

在区间 $[0, 81]$ 内计算 $f (a)$ 。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \sqrt{0} - \frac{1}{9} \cdot 0$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

去掉圆括号。

$f (0) = \sqrt{0} - \frac{1}{9} \cdot 0$

解题步骤 7.2.2

化简每一项。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$f (0) = \sqrt{0^{2}} - \frac{1}{9} \cdot 0$

解题步骤 7.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (0) = 0 - \frac{1}{9} \cdot 0$

解题步骤 7.2.2.3

乘以 $- \frac{1}{9} \cdot 0$ 。

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解题步骤 7.2.2.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$f (0) = 0 + 0 (\frac{1}{9})$

解题步骤 7.2.2.3.2

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{9}$ 。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 7.2.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 7.2.4

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 8

求解 $x$ 的 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{9} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ ， $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{9} = \frac{- (f (81) + f (0))}{- (81 + 0)}$ 。

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解题步骤 8.1

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 8.1.1

在等式两边都加上 $\frac{1}{9}$ 。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{(0) - (0)}{(81) - (0)} + \frac{1}{9}$

解题步骤 8.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{0 + 0}{(81) - (0)} + \frac{1}{9}$

解题步骤 8.1.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{0}{(81) - (0)} + \frac{1}{9}$

解题步骤 8.1.4

化简每一项。

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解题步骤 8.1.4.1

约去 $0$ 和 $(81) - (0)$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.4.1.1

将 $81$ 重写为 $- 1 (- 81)$ 。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{0}{- 1 (- 81) - (0)} + \frac{1}{9}$

解题步骤 8.1.4.1.2

从 $- 1 (- 81) - (0)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{0}{- 1 (- 81 + 0)} + \frac{1}{9}$

解题步骤 8.1.4.1.3

从 $0$ 中分解出因数 $81$ 。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{81 (0)}{- 1 (- 81 + 0)} + \frac{1}{9}$

解题步骤 8.1.4.1.4

约去公因数。

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解题步骤 8.1.4.1.4.1

从 $- 1 (- 81 + 0)$ 中分解出因数 $81$ 。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{81 (0)}{81 (- 1 (- 1 + 0))} + \frac{1}{9}$

解题步骤 8.1.4.1.4.2

约去公因数。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{81 \cdot 0}{81 (- 1 (- 1 + 0))} + \frac{1}{9}$

解题步骤 8.1.4.1.4.3

重写表达式。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{0}{- 1 (- 1 + 0)} + \frac{1}{9}$

解题步骤 8.1.4.2

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{0}{- 1 \cdot - 1} + \frac{1}{9}$

解题步骤 8.1.4.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{0}{1} + \frac{1}{9}$

解题步骤 8.1.4.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0 + \frac{1}{9}$

解题步骤 8.1.5

将 $0$ 和 $\frac{1}{9}$ 相加。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{9}$

解题步骤 8.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 8.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$2 x^{\frac{1}{2}}, 9$

解题步骤 8.2.2

由于 $2 x^{\frac{1}{2}}, 9$ 同时包括数值与变量，求最小公倍数的过程包含两步。求数值部分 $2, 9$ 的最小公倍数，然后求变量部分 $x^{\frac{1}{2}}$ 的最小公倍数。

解题步骤 8.2.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 8.2.4

因为除了 $1$ 和 $2$ 之外， $2$ 没有其他因数。

$2$ 是一个质数

解题步骤 8.2.5

$9$ 具有因式 $3$ 和 $3$ 。

$3 \cdot 3$

解题步骤 8.2.6

$2, 9$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$2 \cdot 3 \cdot 3$

解题步骤 8.2.7

乘以 $2 \cdot 3 \cdot 3$ 。

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解题步骤 8.2.7.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 \cdot 3$

解题步骤 8.2.7.2

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$18$

解题步骤 8.2.8

$x^{\frac{1}{2}}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.2.9

$2 x^{\frac{1}{2}}, 9$ 的最小公倍数为数字部分 $18$ 乘以变量部分。

$18 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.3

将 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{9}$ 中的每一项乘以 $18 x^{\frac{1}{2}}$ 以消去分数。

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解题步骤 8.3.1

将 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{9}$ 中的每一项乘以 $18 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (18 x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3.2

化简左边。

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解题步骤 8.3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$18 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.2.1

从 $18$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \cdot 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3.2.2.2

约去公因数。

$2 \cdot 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3.2.2.3

重写表达式。

$9 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3.2.3

组合 $9$ 和 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3.2.4

约去 $x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.4.1

约去公因数。

$\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3.2.4.2

重写表达式。

$9 = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.3.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.3.1.1

从 $18 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $9$ 。

$9 = \frac{1}{9} (9 (2 x^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 8.3.3.1.2

约去公因数。

$9 = \frac{1}{9} (9 (2 x^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 8.3.3.1.3

重写表达式。

$9 = 2 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.4

求解方程。

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解题步骤 8.4.1

将方程重写为 $2 x^{\frac{1}{2}} = 9$ 。

$2 x^{\frac{1}{2}} = 9$

解题步骤 8.4.2

将 $2 x^{\frac{1}{2}} = 9$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 8.4.2.1

将 $2 x^{\frac{1}{2}} = 9$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{9}{2}$

解题步骤 8.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{9}{2}$

解题步骤 8.4.2.2.2

用 $x^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{9}{2}$

解题步骤 8.4.3

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{9}{2})}^{2}$

解题步骤 8.4.4

化简指数。

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解题步骤 8.4.4.1

化简左边。

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解题步骤 8.4.4.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 8.4.4.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.4.4.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{9}{2})}^{2}$

解题步骤 8.4.4.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.4.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{9}{2})}^{2}$

解题步骤 8.4.4.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = {(\frac{9}{2})}^{2}$

解题步骤 8.4.4.1.1.2

化简。

$x = {(\frac{9}{2})}^{2}$

解题步骤 8.4.4.2

化简右边。

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解题步骤 8.4.4.2.1

化简 ${(\frac{9}{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 8.4.4.2.1.1

对 $\frac{9}{2}$ 运用乘积法则。

$x = \frac{9^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 8.4.4.2.1.2

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{81}{2^{2}}$

解题步骤 8.4.4.2.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{81}{4}$

解题步骤 9

点 $x = \frac{81}{4}$ 处存在一条切线，且与经过端点 $a = 0$ 和 $b = 81$ 的直线平行。

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例