微积分学示例

$f (x) = e^{- 2 x}$ , $[0, 2]$

解题步骤 1

如果 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上连续且在区间 $(a, b)$ 上可微，则区间 $(a, b)$ 内至少存在一个实数 $c$ 使得 $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。中值定理表述的是曲线在 $x = c$ 处的切线斜率与经过点 $(a, f (a))$ 和点 $(b, f (b))$ 的直线的斜率之间的关系。

如果 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续

且如果 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上可微，

然后存在至少一个点， $[a, b]$ 中的 $c$ ： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。

解题步骤 2

检验 $f (x) = e^{- 2 x}$ 是否连续。

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解题步骤 2.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 3

求导数。

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解题步骤 3.1

求一阶导数。

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解题步骤 3.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 2 x$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 2 x$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 3.1.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 3.1.1.3

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 3.1.2

求微分。

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解题步骤 3.1.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

解题步骤 3.1.2.3

化简表达式。

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解题步骤 3.1.2.3.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 2 x} \cdot - 2$

解题步骤 3.1.2.3.2

将 $- 2$ 移到 $e^{- 2 x}$ 的左侧。

$f' (x) = - 2 e^{- 2 x}$

解题步骤 3.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 2 e^{- 2 x}$ 。

$- 2 e^{- 2 x}$

解题步骤 4

判断导数在 $(0, 2)$ 上是否连续。

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解题步骤 4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4.2

$f' (x)$ 在 $(0, 2)$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 5

该函数在 $(0, 2)$ 上可微，因为其导数在 $(0, 2)$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 6

$f (x)$ 满足中值定理的两个条件。它在 $[0, 2]$ 上连续，并且在 $(0, 2)$ 上可微。

$f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上连续，在 $(0, 2)$ 上可微。

解题步骤 7

在区间 $[0, 2]$ 内计算 $f (a)$ 。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = e^{- 2 \cdot 0}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = e^{0}$

解题步骤 7.2.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$f (0) = 1$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 8

在区间 $[0, 2]$ 内计算 $f (b)$ 。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = e^{- 2 \cdot 2}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = e^{- 4}$

解题步骤 8.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f (2) = \frac{1}{e^{4}}$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $\frac{1}{e^{4}}$ 。

$\frac{1}{e^{4}}$

解题步骤 9

求解 $x$ 的 $- 2 e^{- 2 x} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ ， $- 2 e^{- 2 x} = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$ 。

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解题步骤 9.1

化简 $\frac{(\frac{1}{e^{4}}) - (1)}{(2) - (0)}$ 。

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解题步骤 9.1.1

将分数的分子和分母乘以 $e^{4}$ 。

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解题步骤 9.1.1.1

将 $\frac{\frac{1}{e^{4}} - (1)}{2 - (0)}$ 乘以 $\frac{e^{4}}{e^{4}}$ 。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{\frac{1}{e^{4}} - (1)}{2 - (0)}$

解题步骤 9.1.1.2

合并。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} (\frac{1}{e^{4}} - (1))}{e^{4} (2 - (0))}$

解题步骤 9.1.2

运用分配律。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} \frac{1}{e^{4}} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

解题步骤 9.1.3

约去 $e^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.3.1

约去公因数。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} \frac{1}{e^{4}} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

解题步骤 9.1.3.2

重写表达式。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1 + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

解题步骤 9.1.4

化简分子。

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解题步骤 9.1.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1^{2} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

解题步骤 9.1.4.2

将 $e^{4} \cdot (1)$ 重写为 ${(e^{2} \cdot 1)}^{2}$ 。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1^{2} - {(e^{2} \cdot 1)}^{2}}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

解题步骤 9.1.4.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = e^{2} \cdot 1$ 。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2} \cdot 1) (1 - (e^{2} \cdot 1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

解题步骤 9.1.4.4

化简。

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解题步骤 9.1.4.4.1

将 $e^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 - (e^{2} \cdot 1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

解题步骤 9.1.4.4.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1^{2} - e^{2} \cdot 1)}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

解题步骤 9.1.4.4.3

将 $e^{2} \cdot 1$ 重写为 ${(e \cdot 1)}^{2}$ 。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1^{2} - {(e \cdot 1)}^{2})}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

解题步骤 9.1.4.4.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = e \cdot 1$ 。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e \cdot 1) (1 - (e \cdot 1)))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

解题步骤 9.1.4.4.5

化简。

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解题步骤 9.1.4.4.5.1

将 $e$ 乘以 $1$ 。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e) (1 - (e \cdot 1)))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

解题步骤 9.1.4.4.5.2

将 $e$ 乘以 $1$ 。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e) (1 - e))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

解题步骤 9.1.5

化简分母。

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解题步骤 9.1.5.1

从 $e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))$ 中分解出因数 $e^{4}$ 。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} (2 - (0))}$

解题步骤 9.1.5.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} (2 + 0)}$

解题步骤 9.1.5.3

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} \cdot 2}$

解题步骤 9.1.6

将 $2$ 移到 $e^{4}$ 的左侧。

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$

解题步骤 9.2

将 $- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 e^{- 2 x}}{- 2} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

解题步骤 9.2.2

化简左边。

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解题步骤 9.2.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 e^{- 2 x}}{- 2} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

解题步骤 9.2.2.1.2

用 $e^{- 2 x}$ 除以 $1$ 。

$e^{- 2 x} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

解题步骤 9.2.3

化简右边。

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解题步骤 9.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}} \cdot \frac{1}{- 2}$

解题步骤 9.2.3.2

合并。

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e) \cdot 1}{2 e^{4} \cdot - 2}$

解题步骤 9.2.3.3

化简表达式。

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解题步骤 9.2.3.3.1

将 $1 + e^{2}$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4} \cdot - 2}$

解题步骤 9.2.3.3.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{- 4 e^{4}}$

解题步骤 9.2.3.3.3

将负号移到分数的前面。

$e^{- 2 x} = - \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}}$

解题步骤 9.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- 2 x}) = \ln (- \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}})$

解题步骤 9.4

因为 $\ln (- \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}})$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 9.5

$e^{- 2 x} = - \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}}$ 无解

无解

解题步骤 10

There are no solution, so there is no $x$ value where the tangent line is parallel to the line that passes through the end points $a = 0$ and $b = 2$ .

No x value found where the tangent line at x is parallel to the line that passes through the end points $a = 0$ and $b = 2$

解题步骤 11

微积分学 示例

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