微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2} - 64}{x}$ , $[- 8, 8]$

解题步骤 1

如果 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上连续且在区间 $(a, b)$ 上可微，则区间 $(a, b)$ 内至少存在一个实数 $c$ 使得 $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。中值定理表述的是曲线在 $x = c$ 处的切线斜率与经过点 $(a, f (a))$ 和点 $(b, f (b))$ 的直线的斜率之间的关系。

如果 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续

且如果 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上可微，

然后存在至少一个点， $[a, b]$ 中的 $c$ ： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。

解题步骤 2

检验 $f (x) = \frac{x^{2} - 64}{x}$ 是否连续。

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解题步骤 2.1

要求函数在 $[- 8, 8]$ 上是否连续，请求出 $f (x) = \frac{x^{2} - 64}{x}$ 的定义域。

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解题步骤 2.1.1

将 $\frac{x^{2} - 64}{x}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = 0$

解题步骤 2.1.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 在 $[- 8, 8]$ 上不连续，因为 $0$ 不在 $f (x) = \frac{x^{2} - 64}{x}$ 的定义域内。

该函数不连续。

该函数不连续。

解题步骤 3

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$