微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ , $[- 2, 2]$

解题步骤 1

如果 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上连续且在区间 $(a, b)$ 上可微，则区间 $(a, b)$ 内至少存在一个实数 $c$ 使得 $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。中值定理表述的是曲线在 $x = c$ 处的切线斜率与经过点 $(a, f (a))$ 和点 $(b, f (b))$ 的直线的斜率之间的关系。

如果 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续

且如果 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上可微，

然后存在至少一个点， $[a, b]$ 中的 $c$ ： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。

解题步骤 2

检验 $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ 是否连续。

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解题步骤 2.1

要求函数在 $[- 2, 2]$ 上是否连续，请求出 $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ 的定义域。

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解题步骤 2.1.1

将 $\frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} + 6 = 0$

解题步骤 2.1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

从等式两边同时减去 $6$ 。

$x^{2} = - 6$

解题步骤 2.1.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 6}$

解题步骤 2.1.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 6}$ 。

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解题步骤 2.1.2.3.1

将 $- 6$ 重写为 $- 1 (6)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

解题步骤 2.1.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (6)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

解题步骤 2.1.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \sqrt{6}$

解题步骤 2.1.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.1.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i \sqrt{6}$

解题步骤 2.1.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i \sqrt{6}$

解题步骤 2.1.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

解题步骤 2.1.3

定义域为全体实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 在 $[- 2, 2]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 3

求导数。

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解题步骤 3.1

求一阶导数。

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解题步骤 3.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + 6$ 。

$\frac{(x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2

求微分。

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解题步骤 3.1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} + 6) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.2

将 $2$ 移到 $x^{2} + 6$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 6) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.3

根据加法法则， $x^{2} + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.5

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.6

化简表达式。

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解题步骤 3.1.2.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.1.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.1.6

化简。

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解题步骤 3.1.6.1

运用分配律。

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.1.6.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.1.6.3

化简分子。

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解题步骤 3.1.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.6.3.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.1.6.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.1.6.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.6.3.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.1.6.3.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.1.6.3.1.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.1.6.3.1.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.1.6.3.2

合并 $2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.1.6.3.2.1

从 $2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$\frac{12 x + 0}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.1.6.3.2.2

将 $12 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ 。

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 4

判断导数在 $(- 2, 2)$ 上是否连续。

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解题步骤 4.1

要求函数在 $(- 2, 2)$ 上是否连续，请求出 $f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ 的定义域。

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解题步骤 4.1.1

将 $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x^{2} + 6)}^{2} = 0$

解题步骤 4.1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $x^{2} + 6$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 6 = 0$

解题步骤 4.1.2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.1

从等式两边同时减去 $6$ 。

$x^{2} = - 6$

解题步骤 4.1.2.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 6}$

解题步骤 4.1.2.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 6}$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.3.1

将 $- 6$ 重写为 $- 1 (6)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

解题步骤 4.1.2.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (6)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

解题步骤 4.1.2.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \sqrt{6}$

解题步骤 4.1.2.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.1.2.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i \sqrt{6}$

解题步骤 4.1.2.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i \sqrt{6}$

解题步骤 4.1.2.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

解题步骤 4.1.3

定义域为全体实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4.2

$f' (x)$ 在 $(- 2, 2)$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 5

该函数在 $(- 2, 2)$ 上可微，因为其导数在 $(- 2, 2)$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 6

$f (x)$ 满足中值定理的两个条件。它在 $[- 2, 2]$ 上连续，并且在 $(- 2, 2)$ 上可微。

$f (x)$ 在 $[- 2, 2]$ 上连续，在 $(- 2, 2)$ 上可微。

解题步骤 7

在区间 $[- 2, 2]$ 内计算 $f (a)$ 。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{{(- 2)}^{2} + 6}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 2) = \frac{4}{{(- 2)}^{2} + 6}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.2.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 2) = \frac{4}{4 + 6}$

解题步骤 7.2.2.2

将 $4$ 和 $6$ 相加。

$f (- 2) = \frac{4}{10}$

解题步骤 7.2.3

约去 $4$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- 2) = \frac{2 (2)}{10}$

解题步骤 7.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

解题步骤 7.2.3.2.2

约去公因数。

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

解题步骤 7.2.3.2.3

重写表达式。

$f (- 2) = \frac{2}{5}$

解题步骤 7.2.4

最终答案为 $\frac{2}{5}$ 。

$\frac{2}{5}$

解题步骤 8

求解 $x$ 的 $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ ， $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{- (f (2) + f (- 2))}{- (2 - 2)}$ 。

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解题步骤 8.1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 8.1.1

将 $- 1$ 乘以 $\frac{2}{5}$ 。

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{2}{5} - \frac{2}{5}}{(2) - (- 2)}$

解题步骤 8.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{2 - 2}{5}}{(2) - (- 2)}$

解题步骤 8.1.3

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{0}{5}}{(2) - (- 2)}$

解题步骤 8.1.4

用 $0$ 除以 $5$ 。

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{(2) - (- 2)}$

解题步骤 8.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{2 + 2}$

解题步骤 8.1.6

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{4}$

解题步骤 8.1.7

用 $0$ 除以 $4$ 。

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$

解题步骤 8.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 8.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

${(x^{2} + 6)}^{2}, 1$

解题步骤 8.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

${(x^{2} + 6)}^{2}$

解题步骤 8.3

将 $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$ 中的每一项乘以 ${(x^{2} + 6)}^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 8.3.1

将 $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$ 中的每一项乘以 ${(x^{2} + 6)}^{2}$ 。

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} {(x^{2} + 6)}^{2} = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

解题步骤 8.3.2

化简左边。

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解题步骤 8.3.2.1

约去 ${(x^{2} + 6)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} {(x^{2} + 6)}^{2} = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

解题步骤 8.3.2.1.2

重写表达式。

$12 x = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

解题步骤 8.3.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.3.1

将 $0$ 乘以 ${(x^{2} + 6)}^{2}$ 。

$12 x = 0$

解题步骤 8.4

将 $12 x = 0$ 中的每一项除以 $12$ 并化简。

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解题步骤 8.4.1

将 $12 x = 0$ 中的每一项都除以 $12$ 。

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

解题步骤 8.4.2

化简左边。

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解题步骤 8.4.2.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

解题步骤 8.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{12}$

解题步骤 8.4.3

化简右边。

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解题步骤 8.4.3.1

用 $0$ 除以 $12$ 。

$x = 0$

解题步骤 9

点 $x = 0$ 处存在一条切线，且与经过端点 $a = - 2$ 和 $b = 2$ 的直线平行。

解题步骤 10

微积分学 示例

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