微积分学示例

$f (x) = 2 x - 14$ , $[6, 10]$

解题步骤 1

求 $f (x) = 2 x - 14$ 的导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $2 x - 14$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 14]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 14]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 14]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 14]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [- 14]$

解题步骤 1.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 14$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 1.1.3.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 2$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2$ 。

$2$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

$f' (x)$ 在 $[6, 10]$ 上连续。

$f' (x)$ 是连续的

解题步骤 4

函数 $f'$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 5

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{10 - 6} (\int_{6}^{10} 2 d x)$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$A (x) = \frac{1}{10 - 6} (2 x]_{6}^{10})$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $2 x$ 在 $10$ 处和在 $6$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{10 - 6} ((2 \cdot 10) - 2 \cdot 6)$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$A (x) = \frac{1}{10 - 6} (20 - 2 \cdot 6)$

解题步骤 7.2.2

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$A (x) = \frac{1}{10 - 6} (20 - 12)$

解题步骤 7.2.3

从 $20$ 中减去 $12$ 。

$A (x) = \frac{1}{10 - 6} (8)$

解题步骤 8

从 $10$ 中减去 $6$ 。

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot 8$

解题步骤 9

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 (2))$

解题步骤 9.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 2)$

解题步骤 9.3

重写表达式。

$A (x) = 2$

解题步骤 10

微积分学 示例

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