微积分学示例

$y = 3 x^{3} - 2 x$ , $(1, 1)$

解题步骤 1

如果 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上连续且在区间 $(a, b)$ 上可微，则区间 $(a, b)$ 内至少存在一个实数 $c$ 使得 $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。中值定理表述的是曲线在 $x = c$ 处的切线斜率与经过点 $(a, f (a))$ 和点 $(b, f (b))$ 的直线的斜率之间的关系。

如果 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续

且如果 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上可微，

然后存在至少一个点， $[a, b]$ 中的 $c$ ： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。

解题步骤 2

检验 $f (x) = 3 x^{3} - 2 x$ 是否连续。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 在 $[1, 1]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 3

求导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

根据加法法则， $3 x^{3} - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 3.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 3.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 3.1.2.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 3.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$9 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$9 x^{2} - 2 \cdot 1$

解题步骤 3.1.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 9 x^{2} - 2$

解题步骤 3.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $9 x^{2} - 2$ 。

$9 x^{2} - 2$

解题步骤 4

Find if the derivative is continuous on No solution.

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4.2

$f' (x)$ 在 $无解$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 5

该函数在 $无解$ 上可微，因为其导数在 $无解$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 6

$f (x)$ 满足中值定理的两个条件。它在 $[1, 1]$ 上连续，并且在 $无解$ 上可微。

无解

解题步骤 7

在区间 $[1, 1]$ 内计算 $f (a)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = 3 {(1)}^{3} - 2 \cdot 1$

解题步骤 7.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1$

解题步骤 7.2.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 3 - 2 \cdot 1$

解题步骤 7.2.1.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 3 - 2$

解题步骤 7.2.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$f (1) = 1$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 8

该方程有一个无意义的分数。

无定义

解题步骤 9

There are no solution, so there is no $x$ value where the tangent line is parallel to the line that passes through the end points $a = 1$ and $b = 1$ .

No x value found where the tangent line at x is parallel to the line that passes through the end points $a = 1$ and $b = 1$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例