微积分学示例

f (x) = 7 - 7 x^{2}

$f (x) = 7 - 7 x^{2}$ ,

$(- 4, 5)$

解题步骤 1

如果

$f$ 在区间

$[a, b]$ 上连续且在区间

$(a, b)$ 上可微，则区间

$(a, b)$ 内至少存在一个实数

$c$ 使得

$f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。中值定理表述的是曲线在

$x = c$ 处的切线斜率与经过点

$(a, f (a))$ 和点

$(b, f (b))$ 的直线的斜率之间的关系。

如果

$f (x)$ 在

$[a, b]$ 上连续

且如果

$f (x)$ 在

$(a, b)$ 上可微，

然后存在至少一个点，

$[a, b]$ 中的

$c$ ：

$f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。

解题步骤 2

检验

$f (x) = 7 - 7 x^{2}$ 是否连续。

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解题步骤 2.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 在

$[- 4, 5]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 3

求导数。

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解题步骤 3.1

求一阶导数。

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解题步骤 3.1.1

求微分。

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解题步骤 3.1.1.1

根据加法法则，

$7 - 7 x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

解题步骤 3.1.1.2

因为

$7$ 对于

$x$ 是常数，所以

$7$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

解题步骤 3.1.2

计算

$\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

因为

$- 7$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 7 x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$0 - 7 (2 x)$

解题步骤 3.1.2.3

将

$2$ 乘以

$- 7$ 。

$0 - 14 x$

解题步骤 3.1.3

从

$0$ 中减去

$14 x$ 。

$f' (x) = - 14 x$

解题步骤 3.2

$f (x)$ 对

$x$ 的一阶导数是

$- 14 x$ 。

$- 14 x$

解题步骤 4

判断导数在

$(- 4, 5)$ 上是否连续。

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解题步骤 4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4.2

$f' (x)$ 在

$(- 4, 5)$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 5

该函数在

$(- 4, 5)$ 上可微，因为其导数在

$(- 4, 5)$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 6

$f (x)$ 满足中值定理的两个条件。它在

$[- 4, 5]$ 上连续，并且在

$(- 4, 5)$ 上可微。

$f (x)$ 在

$[- 4, 5]$ 上连续，在

$(- 4, 5)$ 上可微。

解题步骤 7

在区间

$[- 4, 5]$ 内计算

$f (a)$ 。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的

$- 4$ 替换变量

$x$ 。

$f (- 4) = 7 - 7 {(- 4)}^{2}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对

$- 4$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (- 4) = 7 - 7 \cdot 16$

解题步骤 7.2.1.2

将

$- 7$ 乘以

$16$ 。

$f (- 4) = 7 - 112$

解题步骤 7.2.2

从

$7$ 中减去

$112$ 。

$f (- 4) = - 105$

解题步骤 7.2.3

最终答案为

$- 105$ 。

$- 105$

解题步骤 8

在区间

$[- 4, 5]$ 内计算

$f (b)$ 。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的

$5$ 替换变量

$x$ 。

$f (5) = 7 - 7 {(5)}^{2}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对

$5$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (5) = 7 - 7 \cdot 25$

解题步骤 8.2.1.2

将

$- 7$ 乘以

$25$ 。

$f (5) = 7 - 175$

解题步骤 8.2.2

从

$7$ 中减去

$175$ 。

$f (5) = - 168$

解题步骤 8.2.3

最终答案为

$- 168$ 。

$- 168$

解题步骤 9

求解

$x$ 的

$- 14 x = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ ，

$- 14 x = \frac{- (f (5) + f (- 4))}{- (5 - 4)}$ 。

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解题步骤 9.1

化简。

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解题步骤 9.1.1

将

$- 1$ 乘以

$- 105$ 。

$- 14 x = \frac{- 168 + 105}{(5) - (- 4)}$

解题步骤 9.1.2

将

$- 1$ 乘以

$- 4$ 。

$- 14 x = \frac{- 168 + 105}{5 + 4}$

解题步骤 9.1.3

将

$- 168$ 和

$105$ 相加。

$- 14 x = \frac{- 63}{5 + 4}$

解题步骤 9.1.4

将

$5$ 和

$4$ 相加。

$- 14 x = \frac{- 63}{9}$

解题步骤 9.1.5

用

$- 63$ 除以

$9$ 。

$- 14 x = - 7$

解题步骤 9.2

将

$- 14 x = - 7$ 中的每一项除以

$- 14$ 并化简。

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解题步骤 9.2.1

将

$- 14 x = - 7$ 中的每一项都除以

$- 14$ 。

$\frac{- 14 x}{- 14} = \frac{- 7}{- 14}$

解题步骤 9.2.2

化简左边。

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解题步骤 9.2.2.1

约去

$- 14$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 14 x}{- 14} = \frac{- 7}{- 14}$

解题步骤 9.2.2.1.2

用

$x$ 除以

$1$ 。

$x = \frac{- 7}{- 14}$

解题步骤 9.2.3

化简右边。

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解题步骤 9.2.3.1

约去

$- 7$ 和

$- 14$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.1.1

从

$- 7$ 中分解出因数

$- 7$ 。

$x = \frac{- 7 (1)}{- 14}$

解题步骤 9.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.1.2.1

从

$- 14$ 中分解出因数

$- 7$ 。

$x = \frac{- 7 \cdot 1}{- 7 \cdot 2}$

解题步骤 9.2.3.1.2.2

约去公因数。

$x = \frac{- 7 \cdot 1}{- 7 \cdot 2}$

解题步骤 9.2.3.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 10

点

$x = \frac{1}{2}$ 处存在一条切线，且与经过端点

$a = - 4$ 和

$b = 5$ 的直线平行。

点

$x = \frac{1}{2}$ 处存在一条切线，且与经过端点

$a = - 4$ 和

$b = 5$ 的直线平行。

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例