微积分学示例

$y = x^{3} - 12 x$ , $(1, - 12)$

解题步骤 1

如果 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上连续且在区间 $(a, b)$ 上可微，则区间 $(a, b)$ 内至少存在一个实数 $c$ 使得 $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。中值定理表述的是曲线在 $x = c$ 处的切线斜率与经过点 $(a, f (a))$ 和点 $(b, f (b))$ 的直线的斜率之间的关系。

如果 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续

且如果 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上可微，

然后存在至少一个点， $[a, b]$ 中的 $c$ ： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。

解题步骤 2

检验 $f (x) = x^{3} - 12 x$ 是否连续。

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解题步骤 2.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 在 $无解$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 3

求导数。

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解题步骤 3.1

求一阶导数。

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解题步骤 3.1.1

求微分。

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解题步骤 3.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

解题步骤 3.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

解题步骤 3.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 12 \cdot 1$

解题步骤 3.1.2.3

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12$

解题步骤 3.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 12$ 。

$3 x^{2} - 12$

解题步骤 4

Find if the derivative is continuous on No solution.

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解题步骤 4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4.2

$f' (x)$ 在 $无解$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 5

该函数在 $无解$ 上可微，因为其导数在 $无解$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 6

$f (x)$ 满足中值定理的两个条件。它在 $无解$ 上连续，并且在 $无解$ 上可微。

无解

解题步骤 7

在区间解内计算 $f (a)$ 无解。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = {(1)}^{3} - 12 \cdot 1$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 1 - 12 \cdot 1$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 1 - 12$

解题步骤 7.2.2

从 $1$ 中减去 $12$ 。

$f (1) = - 11$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 11$ 。

$- 11$

解题步骤 8

在区间解内计算 $f (b)$ 无解。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $- 12$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 12) = {(- 12)}^{3} - 12 \cdot - 12$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $- 12$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 12) = - 1728 - 12 \cdot - 12$

解题步骤 8.2.1.2

将 $- 12$ 乘以 $- 12$ 。

$f (- 12) = - 1728 + 144$

解题步骤 8.2.2

将 $- 1728$ 和 $144$ 相加。

$f (- 12) = - 1584$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $- 1584$ 。

$- 1584$

解题步骤 9

求解 $x$ 的 $3 x^{2} - 12 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ ， $3 x^{2} - 12 = \frac{- (f (- 12) + f (1))}{- (- 12 + 1)}$ 。

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解题步骤 9.1

化简 $\frac{(- 1584) - (- 11)}{(- 12) - (1)}$ 。

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解题步骤 9.1.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 11$ 。

$3 x^{2} - 12 = \frac{- 1584 + 11}{- 12 - (1)}$

解题步骤 9.1.1.2

将 $- 1584$ 和 $11$ 相加。

$3 x^{2} - 12 = \frac{- 1573}{- 12 - (1)}$

解题步骤 9.1.2

化简分母。

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解题步骤 9.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - 12 = \frac{- 1573}{- 12 - 1}$

解题步骤 9.1.2.2

从 $- 12$ 中减去 $1$ 。

$3 x^{2} - 12 = \frac{- 1573}{- 13}$

解题步骤 9.1.3

用 $- 1573$ 除以 $- 13$ 。

$3 x^{2} - 12 = 121$

解题步骤 9.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.2.1

在等式两边都加上 $12$ 。

$3 x^{2} = 121 + 12$

解题步骤 9.2.2

将 $121$ 和 $12$ 相加。

$3 x^{2} = 133$

解题步骤 9.3

将 $3 x^{2} = 133$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 9.3.1

将 $3 x^{2} = 133$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{133}{3}$

解题步骤 9.3.2

化简左边。

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解题步骤 9.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{133}{3}$

解题步骤 9.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{133}{3}$

解题步骤 9.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{\frac{133}{3}}$

解题步骤 9.5

化简 $\pm \sqrt{\frac{133}{3}}$ 。

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解题步骤 9.5.1

将 $\sqrt{\frac{133}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{133}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{133}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 9.5.2

将 $\frac{\sqrt{133}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{133}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 9.5.3

合并和化简分母。

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解题步骤 9.5.3.1

将 $\frac{\sqrt{133}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 9.5.3.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 9.5.3.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 9.5.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 9.5.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 9.5.3.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 9.5.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.5.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 9.5.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.5.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.5.3.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.5.3.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 9.5.3.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{133} \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 9.5.4

化简分子。

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解题步骤 9.5.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \pm \frac{\sqrt{133 \cdot 3}}{3}$

解题步骤 9.5.4.2

将 $133$ 乘以 $3$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{399}}{3}$

解题步骤 9.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 9.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{399}}{3}$

解题步骤 9.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{399}}{3}$

解题步骤 9.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{399}}{3}, - \frac{\sqrt{399}}{3}$

解题步骤 10

点 $x = \frac{\sqrt{399}}{3}$ 处存在一条切线，且与经过端点 $a = 1$ 和 $b = - 12$ 的直线平行。

解题步骤 11

点 $x = - \frac{\sqrt{399}}{3}$ 处存在一条切线，且与经过端点 $a = 1$ 和 $b = - 12$ 的直线平行。

解题步骤 12

微积分学 示例

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