微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 26}{x - 5}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 7 x + 26$ 且 $g (x) = x - 5$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 5) \frac{d}{d x} (x^{2} - 7 x + 26) - (x^{2} - 7 x + 26) \frac{d}{d x} (x - 5)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 7 x + 26$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [26]$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 5) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (26)) - (x^{2} - 7 x + 26) \frac{d}{d x} (x - 5)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 5) (2 x + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (26)) - (x^{2} - 7 x + 26) \frac{d}{d x} (x - 5)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 7 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (26)) - (x^{2} - 7 x + 26) \frac{d}{d x} (x - 5)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (26)) - (x^{2} - 7 x + 26) \frac{d}{d x} (x - 5)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.5

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 7 + \frac{d}{d x} (26)) - (x^{2} - 7 x + 26) \frac{d}{d x} (x - 5)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6

因为 $26$ 对于 $x$ 是常数，所以 $26$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 7 + 0) - (x^{2} - 7 x + 26) \frac{d}{d x} (x - 5)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.7

将 $2 x - 7$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 26) \frac{d}{d x} (x - 5)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.8

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 26) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 26) (1 + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.10

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 26) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.11

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 26) \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.11.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 26)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.3.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 7) - x^{2} - (- 7 x) - 1 \cdot 26}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

化简分子。

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解题步骤 1.1.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x - 5) (2 x - 7)$ 。

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解题步骤 1.1.3.2.1.1.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{x (2 x - 7) - 5 (2 x - 7) - x^{2} - (- 7 x) - 1 \cdot 26}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.1.2

运用分配律。

$f' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 7 - 5 (2 x - 7) - x^{2} - (- 7 x) - 1 \cdot 26}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.1.3

运用分配律。

$f' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 7 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - 1 \cdot 26}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.3.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.2.1.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 7 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - 1 \cdot 26}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.3.2.1.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 7 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - 1 \cdot 26}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 7 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - 1 \cdot 26}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.2.1.3

将 $- 7$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 7 \cdot x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - 1 \cdot 26}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.2.1.4

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 7 x - 10 x - 5 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - 1 \cdot 26}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.2.1.5

将 $- 5$ 乘以 $- 7$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 7 x - 10 x + 35 - x^{2} - (- 7 x) - 1 \cdot 26}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.2.2

从 $- 7 x$ 中减去 $10 x$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 17 x + 35 - x^{2} - (- 7 x) - 1 \cdot 26}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.3

将 $- 7$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 17 x + 35 - x^{2} + 7 x - 1 \cdot 26}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $26$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 17 x + 35 - x^{2} + 7 x - 26}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 17 x + 35 + 7 x - 26}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.3

将 $- 17 x$ 和 $7 x$ 相加。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 10 x + 35 - 26}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.4

从 $35$ 中减去 $26$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 10 x + 9}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3

使用 AC 法来对 $x^{2} - 10 x + 9$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.3.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $9$ ，和为 $- 10$ 。

$- 9, - 1$

解题步骤 1.1.3.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$f' (x) = \frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = (x - 9) (x - 1)$ 且 $g (x) = {(x - 5)}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 9) (x - 1)) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

将 ${({(x - 5)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 9) (x - 1)) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 9) (x - 1)) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.2.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x - 9$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} ((x - 9) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 9)) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.2.4

求微分。

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解题步骤 1.2.4.1

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} ((x - 9) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 9)) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} ((x - 9) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 9)) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.2.4.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} ((x - 9) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 9)) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.2.4.4

化简表达式。

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解题步骤 1.2.4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} ((x - 9) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 9)) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.2.4.4.2

将 $x - 9$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 9 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 9)) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.2.4.5

根据加法法则， $x - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 9 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9))) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.2.4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 9 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 9))) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.2.4.7

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 9 + (x - 1) (1 + 0)) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.2.4.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.2.4.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 9 + (x - 1) \cdot 1) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.2.4.8.2

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 9 + x - 1) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.2.4.8.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 9 - 1) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.2.4.8.4

从 $- 9$ 中减去 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x - 5$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 5$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - (x - 9) (x - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - (x - 9) (x - 1) (2 u \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3

使用 $x - 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - (x - 9) (x - 1) (2 (x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.2.6

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - 2 (x - 9) (x - 1) ((x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.2.6.2

从 ${(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - 2 (x - 9) (x - 1) ((x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5])$ 中分解出因数 $x - 5$ 。

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解题步骤 1.2.6.2.1

从 ${(x - 5)}^{2} (2 x - 10)$ 中分解出因数 $x - 5$ 。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10)) - 2 (x - 9) (x - 1) ((x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.2.6.2.2

从 $- 2 (x - 9) (x - 1) ((x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5])$ 中分解出因数 $x - 5$ 。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10)) + (x - 5) (- 2 (x - 9) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.2.6.2.3

从 $(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10)) + (x - 5) (- 2 (x - 9) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 5]))$ 中分解出因数 $x - 5$ 。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10) - 2 (x - 9) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 1.2.7

约去公因数。

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解题步骤 1.2.7.1

从 ${(x - 5)}^{4}$ 中分解出因数 $x - 5$ 。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10) - 2 (x - 9) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.7.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10) - 2 (x - 9) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.7.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 (x - 9) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.8

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 (x - 9) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 (x - 9) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.10

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 (x - 9) (x - 1) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.11

化简表达式。

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解题步骤 1.2.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 (x - 9) (x - 1) \cdot 1}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.11.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 (x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.12

化简。

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解题步骤 1.2.12.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) + (- 2 x - 2 \cdot - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.12.2

化简分子。

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解题步骤 1.2.12.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.12.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x - 5) (2 x - 10)$ 。

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解题步骤 1.2.12.2.1.1.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 10) - 5 (2 x - 10) + (- 2 x - 2 \cdot - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.12.2.1.1.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 10 - 5 (2 x - 10) + (- 2 x - 2 \cdot - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.12.2.1.1.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 + (- 2 x - 2 \cdot - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.12.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.2.12.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.12.2.1.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 + (- 2 x - 2 \cdot - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.12.2.1.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.2.12.2.1.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 + (- 2 x - 2 \cdot - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.12.2.1.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 + (- 2 x - 2 \cdot - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.12.2.1.2.1.3

将 $- 10$ 移到 $x$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 10 \cdot x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 + (- 2 x - 2 \cdot - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.12.2.1.2.1.4

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 10 + (- 2 x - 2 \cdot - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.12.2.1.2.1.5

将 $- 5$ 乘以 $- 10$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 10 x - 10 x + 50 + (- 2 x - 2 \cdot - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.12.2.1.2.2

从 $- 10 x$ 中减去 $10 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 + (- 2 x - 2 \cdot - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.12.2.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 9$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 + (- 2 x + 18) (x - 1)}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.12.2.1.4

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 x + 18) (x - 1)$ 。

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解题步骤 1.2.12.2.1.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x (x - 1) + 18 (x - 1)}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.12.2.1.4.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 18 (x - 1)}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.12.2.1.4.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 18 x + 18 \cdot - 1}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.12.2.1.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.2.12.2.1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.12.2.1.5.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.2.12.2.1.5.1.1.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 18 x + 18 \cdot - 1}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.12.2.1.5.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 18 x + 18 \cdot - 1}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.12.2.1.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} + 2 x + 18 x + 18 \cdot - 1}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.12.2.1.5.1.3

将 $18$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} + 2 x + 18 x - 18}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.12.2.1.5.2

将 $2 x$ 和 $18 x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} + 20 x - 18}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.12.2.2

合并 $2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} + 20 x - 18$ 中相反的项。

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解题步骤 1.2.12.2.2.1

从 $2 x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 20 x + 50 + 0 + 20 x - 18}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.12.2.2.2

将 $- 20 x + 50$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 20 x + 50 + 20 x - 18}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.12.2.2.3

将 $- 20 x$ 和 $20 x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{0 + 50 - 18}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.12.2.2.4

将 $0$ 和 $50$ 相加。

$f'' (x) = \frac{50 - 18}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.2.12.2.3

从 $50$ 中减去 $18$ 。

$f'' (x) = \frac{32}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{32}{{(x - 5)}^{3}}$ 。

$\frac{32}{{(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{32}{{(x - 5)}^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{32}{{(x - 5)}^{3}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$32 = 0$

解题步骤 2.3

因为 $32 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 3

找不到使二阶导数等于 $0$ 的值。

不存在拐点

微积分学 示例

微积分学示例