微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

将 $\frac{1}{x^{2} - 1}$ 重写为 ${(x^{2} - 1)}^{- 1}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{- 1})$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2} - 1$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 1$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $x^{2} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = - {(x^{2} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f' (x) = - {(x^{2} - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = - {(x^{2} - 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

解题步骤 1.1.3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = - {(x^{2} - 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

解题步骤 1.1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - {(x^{2} - 1)}^{- 2} (2 x)$

解题步骤 1.1.3.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = - 2 {(x^{2} - 1)}^{- 2} x$

解题步骤 1.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot x$

解题步骤 1.1.5

合并项。

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解题步骤 1.1.5.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot x$

解题步骤 1.1.5.2

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot x$

解题步骤 1.1.5.3

组合 $x$ 和 $\frac{2}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ 。

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.5.4

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}]$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.2.3.1

将 ${({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.3.3

将 ${(x^{2} - 1)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} - 1$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 1$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.4.3

使用 $x^{2} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.2

从 ${(x^{2} - 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$ 中分解出因数 $x^{2} - 1$ 。

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解题步骤 1.2.5.2.1

从 ${(x^{2} - 1)}^{2}$ 中分解出因数 $x^{2} - 1$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1) - 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.2.2

从 $- 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$ 中分解出因数 $x^{2} - 1$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1) + (x^{2} - 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.2.3

从 $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1) + (x^{2} - 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$ 中分解出因数 $x^{2} - 1$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.6

约去公因数。

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解题步骤 1.2.6.1

从 ${(x^{2} - 1)}^{4}$ 中分解出因数 $x^{2} - 1$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 1)))}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2.6.2

约去公因数。

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 1)))}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2.6.3

重写表达式。

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2.7

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2.10

化简表达式。

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解题步骤 1.2.10.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2.10.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2.14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2.15

从 $x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{- 3 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2.16

组合 $- 2$ 和 $\frac{- 3 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 (- 3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2.17

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{(2) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2.18

化简。

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解题步骤 1.2.18.1

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2.18.2

化简每一项。

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解题步骤 1.2.18.2.1

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 2 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2.18.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ 。

$- \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$- 6 x^{2} - 2 = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$- 6 x^{2} = 2$

解题步骤 2.3.2

将 $- 6 x^{2} = 2$ 中的每一项除以 $- 6$ 并化简。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $- 6 x^{2} = 2$ 中的每一项都除以 $- 6$ 。

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

解题步骤 2.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.2.1

约去 $- 6$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

解题步骤 2.3.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{2}{- 6}$

解题步骤 2.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.3.1

约去 $2$ 和 $- 6$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.3.1.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{2} = \frac{2 (1)}{- 6}$

解题步骤 2.3.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.3.1.2.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.3.2.3.1.2.2

约去公因数。

$x^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.3.2.3.1.2.3

重写表达式。

$x^{2} = \frac{1}{- 3}$

解题步骤 2.3.2.3.2

将负号移到分数的前面。

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

解题步骤 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

解题步骤 2.3.4

化简 $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

将 $- \frac{1}{3}$ 重写为 $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ 。

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解题步骤 2.3.4.1.1

将 $- 1$ 重写为 $i^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

解题步骤 2.3.4.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

解题步骤 2.3.4.2

从根式下提出各项。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

解题步骤 2.3.4.3

一的任意次幂都为一。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

解题步骤 2.3.4.4

将 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 2.3.4.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 2.3.4.6

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

解题步骤 2.3.4.7

合并和化简分母。

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解题步骤 2.3.4.7.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 2.3.4.7.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 2.3.4.7.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 2.3.4.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.3.4.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 2.3.4.7.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.3.4.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.3.4.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.4.7.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.3.4.7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.4.7.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.3.4.7.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 2.3.4.7.6.5

计算指数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.3.4.8

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3

找不到使二阶导数等于 $0$ 的值。

不存在拐点

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