微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 1$ 且 $g (x) = x$ 。

$f' (x) = \frac{x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f' (x) = \frac{x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{x (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1)}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.9

化简。

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解题步骤 1.1.9.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.9.2

化简分子。

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解题步骤 1.1.9.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.9.2.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.9.3

化简分子。

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解题步骤 1.1.9.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.9.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$f' (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = (x + 1) (x - 1)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 1$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.4

求微分。

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解题步骤 1.2.4.1

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.4.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.4.4

化简表达式。

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解题步骤 1.2.4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.4.4.2

将 $x + 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.4.5

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.4.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + 0)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.4.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.2.4.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) \cdot 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.4.8.2

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + x - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.4.8.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 1 - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.4.8.4

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 1.2.4.8.4.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.4.8.4.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.6

将 $2$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{2 \cdot x^{3} - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - (x + 1) (x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x + 1) (x - 1) x}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.9

化简。

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解题步骤 1.2.9.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 1) (x - 1) x}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.9.2

化简分子。

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解题步骤 1.2.9.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.9.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2) (x - 1) x}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.9.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 x - 2) (x - 1)$ 。

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解题步骤 1.2.9.2.1.2.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 1) - 2 (x - 1)) x}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.9.2.1.2.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 2 (x - 1)) x}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.9.2.1.2.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.9.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.2.9.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.9.2.1.3.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.2.9.2.1.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.9.2.1.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.9.2.1.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 2 x - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.9.2.1.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 2 x - 2 x + 2) x}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.9.2.1.3.2

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 2) x}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.9.2.1.3.3

将 $- 2 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 2) x}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.9.2.1.4

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 2 x}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.9.2.1.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.2.9.2.1.5.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.9.2.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.9.2.1.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.9.2.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 2 x}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.9.2.1.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 2 x}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.9.2.2

从 $2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{0 + 2 x}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.9.2.3

将 $0$ 和 $2 x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 x}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.9.3

约去 $x$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.9.3.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.9.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.9.3.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 1.2.9.3.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 1.2.9.3.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{2}{x^{3}}$ 。

$\frac{2}{x^{3}}$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2}{x^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2}{x^{3}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$2 = 0$

解题步骤 2.3

因为 $2 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 3

找不到使二阶导数等于 $0$ 的值。

不存在拐点

微积分学 示例

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