微积分学示例

$f (x) = (x - 3) (x^{2} - 6 x - 18)$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x - 3$ 且 $g (x) = x^{2} - 6 x - 18$ 。

$f' (x) = (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 18) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 6 x - 18$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ 。

$f' (x) = (x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = (x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

解题步骤 1.1.2.3

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

解题步骤 1.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

解题步骤 1.1.2.5

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

解题步骤 1.1.2.6

因为 $- 18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 18$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6 + 0) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

解题步骤 1.1.2.7

将 $2 x - 6$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

解题步骤 1.1.2.8

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x - 18) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

解题步骤 1.1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x - 18) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

解题步骤 1.1.2.10

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x - 18) (1 + 0)$

解题步骤 1.1.2.11

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x - 18) \cdot 1$

解题步骤 1.1.2.11.2

将 $x^{2} - 6 x - 18$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + x^{2} - 6 x - 18$

解题步骤 1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.3.1

运用分配律。

$f' (x) = (x - 3) (2 x) + (x - 3) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

解题步骤 1.1.3.2

运用分配律。

$f' (x) = x (2 x) - 3 (2 x) + (x - 3) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

解题步骤 1.1.3.3

运用分配律。

$f' (x) = x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

解题步骤 1.1.3.4

合并项。

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解题步骤 1.1.3.4.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

解题步骤 1.1.3.4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

解题步骤 1.1.3.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} - 3 (2 x) + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

解题步骤 1.1.3.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = 2 x^{2} - 3 (2 x) + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

解题步骤 1.1.3.4.5

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (x) = 2 x^{2} - 6 x + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

解题步骤 1.1.3.4.6

将 $- 6$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = 2 x^{2} - 6 x - 6 \cdot x - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

解题步骤 1.1.3.4.7

将 $- 3$ 乘以 $- 6$ 。

$f' (x) = 2 x^{2} - 6 x - 6 x + 18 + x^{2} - 6 x - 18$

解题步骤 1.1.3.4.8

从 $- 6 x$ 中减去 $6 x$ 。

$f' (x) = 2 x^{2} - 12 x + 18 + x^{2} - 6 x - 18$

解题步骤 1.1.3.4.9

将 $2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 18 - 6 x - 18$

解题步骤 1.1.3.4.10

从 $- 12 x$ 中减去 $6 x$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 18 - 18$

解题步骤 1.1.3.4.11

从 $18$ 中减去 $18$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 0$

解题步骤 1.1.3.4.12

将 $3 x^{2} - 18 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $3 x^{2} - 18 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x)$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x)$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 18 x)$

解题步骤 1.2.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 18 x)$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $- 18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 18 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 6 x - 18 \frac{d}{d x} x$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 6 x - 18 \cdot 1$

解题步骤 1.2.3.3

将 $- 18$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 6 x - 18$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $6 x - 18$ 。

$6 x - 18$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $6 x - 18 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$6 x - 18 = 0$

解题步骤 2.2

在等式两边都加上 $18$ 。

$6 x = 18$

解题步骤 2.3

将 $6 x = 18$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $6 x = 18$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 x}{6} = \frac{18}{6}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 x}{6} = \frac{18}{6}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{18}{6}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

用 $18$ 除以 $6$ 。

$x = 3$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $3$ 代入 $f (x) = (x - 3) (x^{2} - 6 x - 18)$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = ((3) - 3) ({(3)}^{2} - 6 \cdot 3 - 18)$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$f (3) = 0 ({(3)}^{2} - 6 \cdot 3 - 18)$

解题步骤 3.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.2.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (3) = 0 (9 - 6 \cdot 3 - 18)$

解题步骤 3.1.2.2.2

将 $- 6$ 乘以 $3$ 。

$f (3) = 0 (9 - 18 - 18)$

解题步骤 3.1.2.3

化简表达式。

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解题步骤 3.1.2.3.1

从 $9$ 中减去 $18$ 。

$f (3) = 0 (- 9 - 18)$

解题步骤 3.1.2.3.2

从 $- 9$ 中减去 $18$ 。

$f (3) = 0 \cdot - 27$

解题步骤 3.1.2.3.3

将 $0$ 乘以 $- 27$ 。

$f (3) = 0$

解题步骤 3.1.2.4

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3.2

通过将 $3$ 代入 $f (x) = (x - 3) (x^{2} - 6 x - 18)$ 中求得的点为 $(3, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(3, 0)$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 3)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $2.9$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2.9) = 6 (2.9) - 18$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

将 $6$ 乘以 $2.9$ 。

$f'' (2.9) = 17.4 - 18$

解题步骤 5.2.2

从 $17.4$ 中减去 $18$ 。

$f'' (2.9) = - 0.6$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 0.6$ 。

$- 0.6$

解题步骤 5.3

在 $2.9$ ，二阶导数为 $- 0.6$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, 3)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 3)$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(3, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $3.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (3.1) = 6 (3.1) - 18$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

将 $6$ 乘以 $3.1$ 。

$f'' (3.1) = 18.6 - 18$

解题步骤 6.2.2

从 $18.6$ 中减去 $18$ 。

$f'' (3.1) = 0.6$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $0.6$ 。

$0.6$

解题步骤 6.3

在 $3.1$ 处，二阶导数为 $0.6$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(3, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(3, \infty)$ 上递增

解题步骤 7

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(3, 0)$ 。

$(3, 0)$

解题步骤 8

微积分学 示例

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