微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

将 ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 1.1.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.3

将 $2$ 移到 ${(x - 1)}^{2}$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{2 \cdot ({(x - 1)}^{2} x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.3.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.4

求微分。

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解题步骤 1.1.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.4.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.4.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + 0))}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.4.5

化简表达式。

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解题步骤 1.1.4.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.4.5.2

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5

化简。

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解题步骤 1.1.5.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.2

化简分子。

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解题步骤 1.1.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.5.2.1.1

将 ${(x - 1)}^{2}$ 重写为 $(x - 1) (x - 1)$ 。

$f' (x) = \frac{2 ((x - 1) (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 1.1.5.2.1.2.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.2.1.2.2

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.2.1.2.3

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.5.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.5.2.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.2.1.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.2.1.3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.2.1.3.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.2.1.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.2.1.3.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 2 x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.2.1.4

运用分配律。

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.2.1.5

化简。

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解题步骤 1.1.5.2.1.5.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.2.1.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 4 x + 2) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.2.1.6

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.2.1.7

化简。

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解题步骤 1.1.5.2.1.7.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.5.2.1.7.1.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.2.1.7.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.5.2.1.7.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.2.1.7.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.2.1.7.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.2.1.7.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.5.2.1.7.2.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 (x \cdot x) + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.2.1.7.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.2.1.8

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.5.2.1.8.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.2.1.8.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.5.2.1.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.2.1.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.2.1.8.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.2.1.9

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.2.2

合并 $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.5.2.2.1

从 $2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x + 0 + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.2.2.2

将 $- 4 x^{2} + 2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.2.3

将 $- 4 x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.3

从 $- 2 x^{2} + 2 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 1.1.5.3.1

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f' (x) = \frac{2 x (- x) + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.3.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f' (x) = \frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.3.3

从 $2 x (- x) + 2 x (1)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f' (x) = \frac{2 x (- x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.4

约去 $- x + 1$ 和 ${(x - 1)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.5.4.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 x (- (x) + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.4.2

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$f' (x) = \frac{2 x (- (x) - 1 \cdot - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.4.3

从 $- (x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 x (- (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.4.4

将 $- (x - 1)$ 重写为 $- 1 (x - 1)$ 。

$f' (x) = \frac{2 x (- 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.4.5

从 $2 x (- 1 (x - 1))$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.5.4.6

约去公因数。

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解题步骤 1.1.5.4.6.1

从 ${(x - 1)}^{4}$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.5.4.6.2

约去公因数。

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.5.4.6.3

重写表达式。

$f' (x) = \frac{2 x \cdot (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.5.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{- 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.5.6

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 1)}^{3}}]$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x - 1)}^{3}$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{({(x - 1)}^{3})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.2.3.1

将 ${({(x - 1)}^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{3 \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.3.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

解题步骤 1.2.3.3

将 ${(x - 1)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

解题步骤 1.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 1$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

解题步骤 1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

解题步骤 1.2.4.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

解题步骤 1.2.5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

解题步骤 1.2.5.2

从 ${(x - 1)}^{3} - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$ 中分解出因数 ${(x - 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.5.2.1

从 ${(x - 1)}^{3}$ 中分解出因数 ${(x - 1)}^{2}$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1) - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

解题步骤 1.2.5.2.2

从 $- 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$ 中分解出因数 ${(x - 1)}^{2}$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{6}}$

解题步骤 1.2.5.2.3

从 ${(x - 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [x - 1]))$ 中分解出因数 ${(x - 1)}^{2}$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{6}}$

解题步骤 1.2.6

约去公因数。

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解题步骤 1.2.6.1

从 ${(x - 1)}^{6}$ 中分解出因数 ${(x - 1)}^{2}$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.6.2

约去公因数。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.6.3

重写表达式。

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.7

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.10

化简项。

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解题步骤 1.2.10.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.10.2

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.10.3

从 $x$ 中减去 $3 x$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{- 2 x - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.10.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{- 2 x - 1}{{(x - 1)}^{4}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.10.5

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{(2) (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.11

化简。

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解题步骤 1.2.11.1

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) + 2 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.11.2

化简每一项。

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解题步骤 1.2.11.2.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 4 x + 2 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.11.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 4 x - 2}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.11.3

从 $- 4 x - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.2.11.3.1

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) - 2}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.11.3.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) + 2 (- 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.11.3.3

从 $2 (- 2 x) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.11.4

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x) - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.11.5

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x) - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.11.6

从 $- (2 x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x + 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.11.7

将 $- (2 x + 1)$ 重写为 $- 1 (2 x + 1)$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (2 x + 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.11.8

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.11.9

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}})$

解题步骤 1.2.11.10

将 $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$ 。

$\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$2 (2 x + 1) = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

将 $2 (2 x + 1) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $2 (2 x + 1) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 (2 x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (2 x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.3.1.2.1.2

用 $2 x + 1$ 除以 $1$ 。

$2 x + 1 = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$2 x + 1 = 0$

解题步骤 2.3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 x = - 1$

解题步骤 2.3.3

将 $2 x = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $2 x = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1}{2}$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $- \frac{1}{2}$ 代入 $f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $- \frac{1}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{{((- \frac{1}{2}) - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简分子。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.3

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.4

一的任意次幂都为一。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1}{2^{2}})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.6

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.2

化简分母。

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解题步骤 3.1.2.2.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.2.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.2.3

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2})}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.2.4

化简分子。

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解题步骤 3.1.2.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 1 - 2}{2})}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.2.4.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 3}{2})}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.2.5

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.2.6

对 $- \frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.2.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 {(\frac{3}{2})}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.2.8

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

解题步骤 3.1.2.2.9

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{9}{2^{2}})}$

解题步骤 3.1.2.2.10

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{9}{4})}$

解题步骤 3.1.2.2.11

将 $\frac{9}{4}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{4}}$

解题步骤 3.1.2.3

将分子乘以分母的倒数。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9}$

解题步骤 3.1.2.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9}$

解题步骤 3.1.2.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{9}$

解题步骤 3.1.2.5

最终答案为 $\frac{1}{9}$ 。

$\frac{1}{9}$

解题步骤 3.2

通过将 $- \frac{1}{2}$ 代入 $f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ 中求得的点为 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 0.6$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.6) = \frac{2 (2 (- 0.6) + 1)}{{((- 0.6) - 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 0.6$ 。

$f'' (- 0.6) = \frac{2 (- 1.2 + 1)}{{(- 0.6 - 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 1.2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{{(- 0.6 - 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $- 0.6$ 中减去 $1$ 。

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{{(- 1.6)}^{4}}$

解题步骤 5.2.2.2

对 $- 1.6$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{6.5536}$

解题步骤 5.2.3

化简表达式。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $2$ 乘以 $- 0.2$ 。

$f'' (- 0.6) = \frac{- 0.4}{6.5536}$

解题步骤 5.2.3.2

用 $- 0.4$ 除以 $6.5536$ 。

$f'' (- 0.6) = - 0.06103515$

解题步骤 5.2.4

最终答案为 $- 0.06103515$ 。

$- 0.06103515$

解题步骤 5.3

在 $- 0.6$ ，二阶导数为 $- 0.06103515$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(- \frac{1}{2}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 0.4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.4) = \frac{2 (2 (- 0.4) + 1)}{{((- 0.4) - 1)}^{4}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 0.4$ 。

$f'' (- 0.4) = \frac{2 (- 0.8 + 1)}{{(- 0.4 - 1)}^{4}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 0.8$ 和 $1$ 相加。

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{{(- 0.4 - 1)}^{4}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $- 0.4$ 中减去 $1$ 。

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{{(- 1.4)}^{4}}$

解题步骤 6.2.2.2

对 $- 1.4$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{3.8416}$

解题步骤 6.2.3

化简表达式。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $2$ 乘以 $0.2$ 。

$f'' (- 0.4) = \frac{0.4}{3.8416}$

解题步骤 6.2.3.2

用 $0.4$ 除以 $3.8416$ 。

$f'' (- 0.4) = 0.10412328$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $0.10412328$ 。

$0.10412328$

解题步骤 6.3

在 $- 0.4$ 处，二阶导数为 $0.10412328$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \frac{1}{2}, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \frac{1}{2}, \infty)$ 上递增

解题步骤 7

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$ 。

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例