微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{x + 3}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

将 $\frac{1}{x + 3}$ 重写为 ${(x + 3)}^{- 1}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{- 1})$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x + 3$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 3$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x + 3)$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x + 3)$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x + 3)$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (3))$

解题步骤 1.1.3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} (1 + 0)$

解题步骤 1.1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.4.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2}$

解题步骤 1.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (x) = - \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 1.2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ 重写为 ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {({(x + 3)}^{2})}^{- 1} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 1.2.2.2

将 ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{2 \cdot - 1} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 1.2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{- 2} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 1.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 2}$ 且 $g (x) = x + 3$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 3$ 。

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$f'' (x) = - (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 1.2.3.3

使用 $x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - (- 2 {(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 1.2.4

求微分。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 2 ({(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 1.2.4.2

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 1.2.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 1.2.4.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 1.2.4.5

化简表达式。

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解题步骤 1.2.4.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 1.2.4.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 1.2.4.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot 0$

解题步骤 1.2.4.7

化简表达式。

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解题步骤 1.2.4.7.1

将 $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ 乘以 $0$ 。

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} + 0$

解题步骤 1.2.4.7.2

将 $2 {(x + 3)}^{- 3}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3}$

解题步骤 1.2.5

化简。

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解题步骤 1.2.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{{(x + 3)}^{3}})$

解题步骤 1.2.5.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{{(x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{2}{{(x + 3)}^{3}}$ 。

$\frac{2}{{(x + 3)}^{3}}$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2}{{(x + 3)}^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2}{{(x + 3)}^{3}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$2 = 0$

解题步骤 2.3

因为 $2 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 3

找不到使二阶导数等于 $0$ 的值。

不存在拐点

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