微积分学示例

$x e^{x}$

解题步骤 1

将 $x e^{x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x e^{x}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

解题步骤 2.1.3.2

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $x e^{x} + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.2.2.4

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.2.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

解题步骤 2.2.4

化简。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $e^{x}$ 和 $e^{x}$ 相加。

$x e^{x} + 2 e^{x}$

解题步骤 2.2.4.2

重新排序项。

$e^{x} x + 2 e^{x}$

解题步骤 2.2.4.3

将 $e^{x} x + 2 e^{x}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $x e^{x} + 2 e^{x}$ 。

$x e^{x} + 2 e^{x}$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

解题步骤 3.2

从 $x e^{x} + 2 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 3.2.1

从 $x e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} x + 2 e^{x} = 0$

解题步骤 3.2.2

从 $2 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} x + e^{x} \cdot 2 = 0$

解题步骤 3.2.3

从 $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} (x + 2) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 3.4

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

解题步骤 3.4.2

求解 $x$ 的 $e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

解题步骤 3.4.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 3.4.2.3

$e^{x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 3.5

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 3.5.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 3.6

最终解为使 $e^{x} (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 2$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $- 2$ 代入 $f (x) = x e^{x}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = (- 2) \cdot e^{- 2}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{2}}$

解题步骤 4.1.2.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{e^{2}}$ 。

$f (- 2) = \frac{- 2}{e^{2}}$

解题步骤 4.1.2.3

将负号移到分数的前面。

$f (- 2) = - \frac{2}{e^{2}}$

解题步骤 4.1.2.4

最终答案为 $- \frac{2}{e^{2}}$ 。

$- \frac{2}{e^{2}}$

解题步骤 4.2

通过将 $- 2$ 代入 $f (x) = x e^{x}$ 中求得的点为 $(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 2)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 2.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 2.1) = (- 2.1) \cdot e^{- 2.1} + 2 e^{- 2.1}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (- 2.1) = - 2.1 \cdot \frac{1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

解题步骤 6.2.1.2

组合 $- 2.1$ 和 $\frac{1}{e^{2.1}}$ 。

$f'' (- 2.1) = \frac{- 2.1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

解题步骤 6.2.1.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

解题步骤 6.2.1.4

使用近似值替换 $e$ 。

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{{2.71828182}^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

解题步骤 6.2.1.5

对 $2.71828182$ 进行 $2.1$ 次方运算。

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{8.16616991} + 2 e^{- 2.1}$

解题步骤 6.2.1.6

用 $2.1$ 除以 $8.16616991$ 。

$f'' (- 2.1) = - 1 \cdot 0.25715849 + 2 e^{- 2.1}$

解题步骤 6.2.1.7

将 $- 1$ 乘以 $0.25715849$ 。

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + 2 e^{- 2.1}$

解题步骤 6.2.1.8

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + 2 (\frac{1}{e^{2.1}})$

解题步骤 6.2.1.9

组合 $2$ 和 $\frac{1}{e^{2.1}}$ 。

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + \frac{2}{e^{2.1}}$

解题步骤 6.2.2

将 $- 0.25715849$ 和 $\frac{2}{e^{2.1}}$ 相加。

$f'' (- 2.1) = - 0.01224564$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 0.01224564$ 。

$- 0.01224564$

解题步骤 6.3

在 $- 2.1$ ，二阶导数为 $- 0.01224564$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, - 2)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 2)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(- 2, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- 1.9$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 1.9) = (- 1.9) \cdot e^{- 1.9} + 2 e^{- 1.9}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (- 1.9) = - 1.9 \cdot \frac{1}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

解题步骤 7.2.1.2

组合 $- 1.9$ 和 $\frac{1}{e^{1.9}}$ 。

$f'' (- 1.9) = \frac{- 1.9}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

解题步骤 7.2.1.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

解题步骤 7.2.1.4

使用近似值替换 $e$ 。

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{{2.71828182}^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

解题步骤 7.2.1.5

对 $2.71828182$ 进行 $1.9$ 次方运算。

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{6.68589444} + 2 e^{- 1.9}$

解题步骤 7.2.1.6

用 $1.9$ 除以 $6.68589444$ 。

$f'' (- 1.9) = - 1 \cdot 0.28418037 + 2 e^{- 1.9}$

解题步骤 7.2.1.7

将 $- 1$ 乘以 $0.28418037$ 。

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + 2 e^{- 1.9}$

解题步骤 7.2.1.8

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + 2 (\frac{1}{e^{1.9}})$

解题步骤 7.2.1.9

组合 $2$ 和 $\frac{1}{e^{1.9}}$ 。

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + \frac{2}{e^{1.9}}$

解题步骤 7.2.2

将 $- 0.28418037$ 和 $\frac{2}{e^{1.9}}$ 相加。

$f'' (- 1.9) = 0.01495686$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $0.01495686$ 。

$0.01495686$

解题步骤 7.3

在 $- 1.9$ 处，二阶导数为 $0.01495686$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- 2, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 2, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$ 。

$(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$

解题步骤 9

微积分学 示例

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