微积分学示例

$x^{4} + 4 x^{3} - 18 x^{2} - 3 x + 4$

解题步骤 1

将 $x^{4} + 4 x^{3} - 18 x^{2} - 3 x + 4$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{4} + 4 x^{3} - 18 x^{2} - 3 x + 4$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} + 4 x^{3} - 18 x^{2} - 3 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.1.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$4 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 18 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 18$ 。

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 36 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

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解题步骤 2.1.4.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.1.4.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 3 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.5.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 3 + 0$

解题步骤 2.1.5.2

将 $4 x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 3$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 4 x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 3$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $4 x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.2.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$12 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.2.3.3

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$12 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

因为 $- 36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 36 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 x^{2} + 24 x - 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 x^{2} + 24 x - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.2.4.3

将 $- 36$ 乘以 $1$ 。

$12 x^{2} + 24 x - 36 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.2.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.2.5.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 x^{2} + 24 x - 36 + 0$

解题步骤 2.2.5.2

将 $12 x^{2} + 24 x - 36$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 x - 36$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $12 x^{2} + 24 x - 36$ 。

$12 x^{2} + 24 x - 36$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $12 x^{2} + 24 x - 36 = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$12 x^{2} + 24 x - 36 = 0$

解题步骤 3.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.2.1

从 $12 x^{2} + 24 x - 36$ 中分解出因数 $12$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (x^{2}) + 24 x - 36 = 0$

解题步骤 3.2.1.2

从 $24 x$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (x^{2}) + 12 (2 x) - 36 = 0$

解题步骤 3.2.1.3

从 $- 36$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 x^{2} + 12 (2 x) + 12 \cdot - 3 = 0$

解题步骤 3.2.1.4

从 $12 x^{2} + 12 (2 x)$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (x^{2} + 2 x) + 12 \cdot - 3 = 0$

解题步骤 3.2.1.5

从 $12 (x^{2} + 2 x) + 12 \cdot - 3$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (x^{2} + 2 x - 3) = 0$

解题步骤 3.2.2

因数。

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解题步骤 3.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 2 x - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $2$ 。

$- 1, 3$

解题步骤 3.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$12 ((x - 1) (x + 3)) = 0$

解题步骤 3.2.2.2

去掉多余的括号。

$12 (x - 1) (x + 3) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

解题步骤 3.4

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 3.4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 3.5

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 3.5.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 3.6

最终解为使 $12 (x - 1) (x + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, - 3$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $1$ 代入 $f (x) = x^{4} + 4 x^{3} - 18 x^{2} - 3 x + 4$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = {(1)}^{4} + 4 {(1)}^{3} - 18 {(1)}^{2} - 3 \cdot 1 + 4$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 1 + 4 {(1)}^{3} - 18 {(1)}^{2} - 3 \cdot 1 + 4$

解题步骤 4.1.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 1 + 4 \cdot 1 - 18 {(1)}^{2} - 3 \cdot 1 + 4$

解题步骤 4.1.2.1.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 1 + 4 - 18 {(1)}^{2} - 3 \cdot 1 + 4$

解题步骤 4.1.2.1.4

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 1 + 4 - 18 \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 4$

解题步骤 4.1.2.1.5

将 $- 18$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 1 + 4 - 18 - 3 \cdot 1 + 4$

解题步骤 4.1.2.1.6

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 1 + 4 - 18 - 3 + 4$

解题步骤 4.1.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$f (1) = 5 - 18 - 3 + 4$

解题步骤 4.1.2.2.2

从 $5$ 中减去 $18$ 。

$f (1) = - 13 - 3 + 4$

解题步骤 4.1.2.2.3

从 $- 13$ 中减去 $3$ 。

$f (1) = - 16 + 4$

解题步骤 4.1.2.2.4

将 $- 16$ 和 $4$ 相加。

$f (1) = - 12$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $- 12$ 。

$- 12$

解题步骤 4.2

通过将 $1$ 代入 $f (x) = x^{4} + 4 x^{3} - 18 x^{2} - 3 x + 4$ 中求得的点为 $(1, - 12)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(1, - 12)$

解题步骤 4.3

将 $- 3$ 代入 $f (x) = x^{4} + 4 x^{3} - 18 x^{2} - 3 x + 4$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 3) = {(- 3)}^{4} + 4 {(- 3)}^{3} - 18 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 + 4$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $- 3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- 3) = 81 + 4 {(- 3)}^{3} - 18 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 + 4$

解题步骤 4.3.2.1.2

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 3) = 81 + 4 \cdot - 27 - 18 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 + 4$

解题步骤 4.3.2.1.3

将 $4$ 乘以 $- 27$ 。

$f (- 3) = 81 - 108 - 18 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 + 4$

解题步骤 4.3.2.1.4

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 3) = 81 - 108 - 18 \cdot 9 - 3 \cdot - 3 + 4$

解题步骤 4.3.2.1.5

将 $- 18$ 乘以 $9$ 。

$f (- 3) = 81 - 108 - 162 - 3 \cdot - 3 + 4$

解题步骤 4.3.2.1.6

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$f (- 3) = 81 - 108 - 162 + 9 + 4$

解题步骤 4.3.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.3.2.2.1

从 $81$ 中减去 $108$ 。

$f (- 3) = - 27 - 162 + 9 + 4$

解题步骤 4.3.2.2.2

从 $- 27$ 中减去 $162$ 。

$f (- 3) = - 189 + 9 + 4$

解题步骤 4.3.2.2.3

将 $- 189$ 和 $9$ 相加。

$f (- 3) = - 180 + 4$

解题步骤 4.3.2.2.4

将 $- 180$ 和 $4$ 相加。

$f (- 3) = - 176$

解题步骤 4.3.2.3

最终答案为 $- 176$ 。

$- 176$

解题步骤 4.4

通过将 $- 3$ 代入 $f (x) = x^{4} + 4 x^{3} - 18 x^{2} - 3 x + 4$ 中求得的点为 $(- 3, - 176)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 3, - 176)$

解题步骤 4.5

确定可能是拐点的点。

$(1, - 12), (- 3, - 176)$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 3)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 3.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 3.1) = 12 {(- 3.1)}^{2} + 24 (- 3.1) - 36$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 3.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 3.1) = 12 \cdot 9.61 + 24 (- 3.1) - 36$

解题步骤 6.2.1.2

将 $12$ 乘以 $9.61$ 。

$f'' (- 3.1) = 115.32 + 24 (- 3.1) - 36$

解题步骤 6.2.1.3

将 $24$ 乘以 $- 3.1$ 。

$f'' (- 3.1) = 115.32 - 74.4 - 36$

解题步骤 6.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $115.32$ 中减去 $74.4$ 。

$f'' (- 3.1) = 40.92 - 36$

解题步骤 6.2.2.2

从 $40.92$ 中减去 $36$ 。

$f'' (- 3.1) = 4.92$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $4.92$ 。

$4.92$

解题步骤 6.3

在 $- 3.1$ 处，二阶导数为 $4.92$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, - 3)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 3)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(- 3, 1)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 1) = 12 {(- 1)}^{2} + 24 (- 1) - 36$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 1) = 12 \cdot 1 + 24 (- 1) - 36$

解题步骤 7.2.1.2

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$f'' (- 1) = 12 + 24 (- 1) - 36$

解题步骤 7.2.1.3

将 $24$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (- 1) = 12 - 24 - 36$

解题步骤 7.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $12$ 中减去 $24$ 。

$f'' (- 1) = - 12 - 36$

解题步骤 7.2.2.2

从 $- 12$ 中减去 $36$ 。

$f'' (- 1) = - 48$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 48$ 。

$- 48$

解题步骤 7.3

在 $- 1$ ，二阶导数为 $- 48$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- 3, 1)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- 3, 1)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(1, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $1.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (1.1) = 12 {(1.1)}^{2} + 24 (1.1) - 36$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $1.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (1.1) = 12 \cdot 1.21 + 24 (1.1) - 36$

解题步骤 8.2.1.2

将 $12$ 乘以 $1.21$ 。

$f'' (1.1) = 14.52 + 24 (1.1) - 36$

解题步骤 8.2.1.3

将 $24$ 乘以 $1.1$ 。

$f'' (1.1) = 14.52 + 26.4 - 36$

解题步骤 8.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $14.52$ 和 $26.4$ 相加。

$f'' (1.1) = 40.92 - 36$

解题步骤 8.2.2.2

从 $40.92$ 中减去 $36$ 。

$f'' (1.1) = 4.92$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $4.92$ 。

$4.92$

解题步骤 8.3

在 $1.1$ 处，二阶导数为 $4.92$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(1, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(1, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(- 3, - 176), (1, - 12)$ 。

$(- 3, - 176), (1, - 12)$

解题步骤 10

微积分学 示例

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