微积分学示例

$f (x) = {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (x) = x + 3$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 3$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x + 3)$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3)$

解题步骤 1.1.1.3

使用 $x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3)$

解题步骤 1.1.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)$

解题步骤 1.1.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)$

解题步骤 1.1.4

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)$

解题步骤 1.1.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)$

解题步骤 1.1.5.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)$

解题步骤 1.1.6

合并分数。

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解题步骤 1.1.6.1

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)$

解题步骤 1.1.6.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}$ 。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)$

解题步骤 1.1.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)$

解题步骤 1.1.7

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

解题步骤 1.1.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (3))$

解题步骤 1.1.9

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + 0)$

解题步骤 1.1.10

化简表达式。

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解题步骤 1.1.10.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

解题步骤 1.1.10.2

将 $\frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.2.1.1

因为 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}})$

解题步骤 1.2.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.2.1.2.1

将 $\frac{1}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ 重写为 ${({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

解题步骤 1.2.1.2.2

将 ${({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1})$

解题步骤 1.2.1.2.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{\frac{- 1}{3}})$

解题步骤 1.2.1.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{- \frac{1}{3}})$

解题步骤 1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = x + 3$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 3$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x + 3))$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))$

解题步骤 1.2.2.3

使用 $x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))$

解题步骤 1.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

解题步骤 1.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

解题步骤 1.2.5

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

解题步骤 1.2.6

化简分子。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

解题步骤 1.2.6.2

从 $- 1$ 中减去 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

解题步骤 1.2.7

合并分数。

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解题步骤 1.2.7.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

解题步骤 1.2.7.2

组合 ${(x + 3)}^{- \frac{4}{3}}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{{(x + 3)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))$

解题步骤 1.2.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 3)}^{- \frac{4}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))$

解题步骤 1.2.7.4

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{3 (3 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)$

解题步骤 1.2.7.5

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)$

解题步骤 1.2.8

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

解题步骤 1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (3))$

解题步骤 1.2.10

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (1 + 0)$

解题步骤 1.2.11

化简表达式。

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解题步骤 1.2.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 1$

解题步骤 1.2.11.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}}$ 。

$- \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$2 = 0$

解题步骤 2.3

因为 $2 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 3

找不到使二阶导数等于 $0$ 的值。

不存在拐点

微积分学 示例

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