微积分学示例

$f (x) = x + \frac{1}{x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x + \frac{1}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f' (x) = 1 - x^{- 2}$

解题步骤 1.1.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.4

重新排序项。

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ 。

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$

解题步骤 2.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x^{2}, 1$

解题步骤 2.3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{2}$

解题步骤 2.4

将 $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 2.4.1

将 $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 。

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

解题步骤 2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.1

将 $- \frac{1}{x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

解题步骤 2.4.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

解题步骤 2.4.2.1.3

重写表达式。

$- 1 = - x^{2}$

解题步骤 2.5

求解方程。

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解题步骤 2.5.1

将方程重写为 $- x^{2} = - 1$ 。

$- x^{2} = - 1$

解题步骤 2.5.2

将 $- x^{2} = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.5.2.1

将 $- x^{2} = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.5.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} = 1$

解题步骤 2.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 2.5.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 2.5.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.5.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 2.5.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 2.5.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $1, - 1$ 。

$1, - 1$

解题步骤 4

求导数无意义的位置。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 1)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = - \frac{1}{{(- 2)}^{2}} + 1$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 2) = - \frac{1}{4} + 1$

解题步骤 6.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f' (- 2) = - \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

解题步骤 6.2.3

在公分母上合并分子。

$f' (- 2) = \frac{- 1 + 4}{4}$

解题步骤 6.2.4

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$f' (- 2) = \frac{3}{4}$

解题步骤 6.2.5

最终答案为 $\frac{3}{4}$ 。

$\frac{3}{4}$

解题步骤 6.3

在 $x = - 2$ 处，导数为 $\frac{3}{4}$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, - 1)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 1)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(- 1, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- \frac{1}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{{(- \frac{1}{2})}^{2}} + 1$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

化简分母。

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解题步骤 7.2.1.1.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}} + 1$

解题步骤 7.2.1.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 {(\frac{1}{2})}^{2}} + 1$

解题步骤 7.2.1.1.3

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})} + 1$

解题步骤 7.2.1.1.4

一的任意次幂都为一。

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 (\frac{1}{2^{2}})} + 1$

解题步骤 7.2.1.1.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 (\frac{1}{4})} + 1$

解题步骤 7.2.1.1.6

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1}{4}} + 1$

解题步骤 7.2.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$f' (- \frac{1}{2}) = - (1 \cdot 4) + 1$

解题步骤 7.2.1.3

乘以 $- (1 \cdot 4)$ 。

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解题步骤 7.2.1.3.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = - 1 \cdot 4 + 1$

解题步骤 7.2.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = - 4 + 1$

解题步骤 7.2.2

将 $- 4$ 和 $1$ 相加。

$f' (- \frac{1}{2}) = - 3$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 3$ 。

$- 3$

解题步骤 7.3

在 $x = - \frac{1}{2}$ 处，导数为 $- 3$ 。由于其值为负，函数在 $(- 1, 0)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- 1, 0)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(0, 1)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $\frac{1}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2}} + 1$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

化简分母。

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解题步骤 8.2.1.1.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1^{2}}{2^{2}}} + 1$

解题步骤 8.2.1.1.2

一的任意次幂都为一。

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1}{2^{2}}} + 1$

解题步骤 8.2.1.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1}{4}} + 1$

解题步骤 8.2.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$f' (\frac{1}{2}) = - (1 \cdot 4) + 1$

解题步骤 8.2.1.3

乘以 $- (1 \cdot 4)$ 。

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解题步骤 8.2.1.3.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = - 1 \cdot 4 + 1$

解题步骤 8.2.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = - 4 + 1$

解题步骤 8.2.2

将 $- 4$ 和 $1$ 相加。

$f' (\frac{1}{2}) = - 3$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $- 3$ 。

$- 3$

解题步骤 8.3

在 $x = \frac{1}{2}$ 处，导数为 $- 3$ 。由于其值为负，函数在 $(0, 1)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(0, 1)$ 上递减

解题步骤 9

将区间 $(1, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = - \frac{1}{{(2)}^{2}} + 1$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (2) = - \frac{1}{4} + 1$

解题步骤 9.2.2

化简表达式。

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解题步骤 9.2.2.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f' (2) = - \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

解题步骤 9.2.2.2

在公分母上合并分子。

$f' (2) = \frac{- 1 + 4}{4}$

解题步骤 9.2.2.3

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$f' (2) = \frac{3}{4}$

解题步骤 9.2.3

最终答案为 $\frac{3}{4}$ 。

$\frac{3}{4}$

解题步骤 9.3

在 $x = 2$ 处，导数为 $\frac{3}{4}$ 。由于其值为正，函数在 $(1, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(1, \infty)$ 上递增

解题步骤 10

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

递减于： $(- 1, 0), (0, 1)$

解题步骤 11

微积分学 示例

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