微积分学示例

$y = \frac{2 + x}{3 - x}$

解题步骤 1

将 $y = \frac{2 + x}{3 - x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{2 + x}{3 - x}$

解题步骤 2

求一阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 2 + x$ 且 $g (x) = 3 - x$ 。

$\frac{(3 - x) \frac{d}{d x} [2 + x] - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $2 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(3 - x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]) - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(3 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x]$ 相加。

$\frac{(3 - x) \frac{d}{d x} [x] - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(3 - x) \cdot 1 - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.5

将 $3 - x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 - x - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.6

根据加法法则， $3 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{3 - x - (2 + x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(3 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.7

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3 - x - (2 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(3 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.8

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$\frac{3 - x - (2 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(3 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{3 - x - (2 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(3 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.10

乘。

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解题步骤 2.1.2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 - x + 1 (2 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.10.2

将 $2 + x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 - x + (2 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{3 - x + (2 + x) \cdot 1}{{(3 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.12

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.1.2.12.1

将 $2 + x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 - x + 2 + x}{{(3 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.12.2

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- x + 5 + x}{{(3 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.12.3

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{0 + 5}{{(3 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.12.4

化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.12.4.1

将 $0$ 和 $5$ 相加。

$\frac{5}{{(3 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.12.4.2

重新排序项。

$f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ 。

$\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}} = 0$

解题步骤 3.2

将分子设为等于零。

$5 = 0$

解题步骤 3.3

因为 $5 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 4

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 5

求导数无意义的位置。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(- x + 3)}^{2} = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $- x + 3$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

${(- (x) + 3)}^{2} = 0$

解题步骤 5.2.1.1.2

将 $3$ 重写为 $- 1 (- 3)$ 。

${(- (x) - 1 \cdot - 3)}^{2} = 0$

解题步骤 5.2.1.1.3

从 $- (x) - 1 (- 3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

${(- (x - 3))}^{2} = 0$

解题步骤 5.2.1.2

对 $- (x - 3)$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

解题步骤 5.2.2

将 ${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ 中的每一项除以 ${(- 1)}^{2}$ 并化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 ${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ 中的每一项都除以 ${(- 1)}^{2}$ 。

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去 ${(- 1)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

用 ${(x - 3)}^{2}$ 除以 $1$ 。

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.3.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{1}$

解题步骤 5.2.2.3.2

用 $0$ 除以 $1$ 。

${(x - 3)}^{2} = 0$

解题步骤 5.2.3

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 5.2.4

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 6

求出让导数 $f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = \frac{2 + x}{3 - x}$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$ 。

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

解题步骤 7

将区间 $(- \infty, 3)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = \frac{5}{{(- (2) + 3)}^{2}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简分母。

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解题步骤 7.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (2) = \frac{5}{{(- 2 + 3)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$f' (2) = \frac{5}{1^{2}}$

解题步骤 7.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$f' (2) = \frac{5}{1}$

解题步骤 7.2.2

用 $5$ 除以 $1$ 。

$f' (2) = 5$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $5$ 。

$5$

解题步骤 7.3

在 $x = 2$ 处，导数为 $5$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, 3)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, 3)$ 上递增

解题步骤 8

将区间 $(3, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (4) = \frac{5}{{(- (4) + 3)}^{2}}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简分母。

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解题步骤 8.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f' (4) = \frac{5}{{(- 4 + 3)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2

将 $- 4$ 和 $3$ 相加。

$f' (4) = \frac{5}{{(- 1)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (4) = \frac{5}{1}$

解题步骤 8.2.2

用 $5$ 除以 $1$ 。

$f' (4) = 5$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $5$ 。

$5$

解题步骤 8.3

在 $x = 4$ 处，导数为 $5$ 。由于其值为正，函数在 $(3, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(3, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, 3), (3, \infty)$

解题步骤 10

微积分学 示例

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