微积分学示例

$y = 2 - 2 x - x^{3}$

解题步骤 1

将 $y = 2 - 2 x - x^{3}$ 书写为一个函数。

$f (x) = 2 - 2 x - x^{3}$

解题步骤 2

求一阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $2 - 2 x - x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 2.1.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 2.1.2.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$0 - 2 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$0 - 2 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$0 - 2 - (3 x^{2})$

解题步骤 2.1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 2 - 3 x^{2}$

解题步骤 2.1.4

化简。

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解题步骤 2.1.4.1

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$- 2 - 3 x^{2}$

解题步骤 2.1.4.2

重新排序项。

$f' (x) = - 3 x^{2} - 2$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 3 x^{2} - 2$ 。

$- 3 x^{2} - 2$

解题步骤 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 3 x^{2} - 2 = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 3 x^{2} - 2 = 0$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$- 3 x^{2} = 2$

解题步骤 3.3

将 $- 3 x^{2} = 2$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 3 x^{2} = 2$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{2}{- 3}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$x^{2} = - \frac{2}{3}$

解题步骤 3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- \frac{2}{3}}$

解题步骤 3.5

化简 $\pm \sqrt{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $- 1$ 重写为 $i^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2}{3}}$

解题步骤 3.5.2

从根式下提出各项。

$x = \pm i \sqrt{\frac{2}{3}}$

解题步骤 3.5.3

将 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 3.5.4

将 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm i (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

解题步骤 3.5.5

合并和化简分母。

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解题步骤 3.5.5.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 3.5.5.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 3.5.5.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 3.5.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.5.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 3.5.5.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.5.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.5.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.5.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.5.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.5.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.5.5.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 3.5.5.6.5

计算指数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.5.6

化简分子。

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解题步骤 3.5.6.1

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

解题步骤 3.5.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{6}}{3}$

解题步骤 3.5.7

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ 。

$x = \pm \frac{i \sqrt{6}}{3}$

解题步骤 3.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{i \sqrt{6}}{3}$

解题步骤 3.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{i \sqrt{6}}{3}$

解题步骤 3.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{i \sqrt{6}}{3}, - \frac{i \sqrt{6}}{3}$

解题步骤 4

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 5

不存在使导数 $f' (x) = - 3 x^{2} - 2$ 等于 $0$ 或未定义的点。检查函数 $f (x) = 2 - 2 x - x^{3}$ 的为递增还是递减的区间为 $(- \infty, \infty)$ 。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 6

将任意数（例如，从区间 $(- \infty, \infty)$ 中的 $1$ ）代入导数 $f' (x) = - 3 x^{2} - 2$ ，从而判断结果是正数还是负数。如果结果是负数，则图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 上递减。如果结果是正数，则图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 上递增。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = - 3 {(1)}^{2} - 2$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = - 3 \cdot 1 - 2$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = - 3 - 2$

解题步骤 6.2.2

从 $- 3$ 中减去 $2$ 。

$f' (1) = - 5$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 5$ 。

$- 5$

解题步骤 7

将 $1$ 代入 $f' (x) = - 3 x^{2} - 2$ 得到的结果为 $- 5$ ，因为是负数，所以其图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 递减。

在 $(- \infty, \infty)$ 上递减

解题步骤 8

在区间 $(- \infty, \infty)$ 上递减，表明这个函数恒为递减。

总是递减

解题步骤 9

微积分学 示例

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