微积分学示例

$y = x - 4 \ln (3 x - 9)$

解题步骤 1

将 $y = x - 4 \ln (3 x - 9)$ 书写为一个函数。

$f (x) = x - 4 \ln (3 x - 9)$

解题步骤 2

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $x - 4 \ln (3 x - 9)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

解题步骤 2.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 \ln (3 x - 9)$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ 。

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

解题步骤 2.1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 3 x - 9$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x - 9$ 。

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

解题步骤 2.1.2.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$1 - 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

解题步骤 2.1.2.2.3

使用 $3 x - 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

解题步骤 2.1.2.3

根据加法法则， $3 x - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

解题步骤 2.1.2.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

解题步骤 2.1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

解题步骤 2.1.2.6

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

解题步骤 2.1.2.7

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

解题步骤 2.1.2.8

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

解题步骤 2.1.2.9

组合 $\frac{1}{3 x - 9}$ 和 $3$ 。

$1 - 4 \frac{3}{3 x - 9}$

解题步骤 2.1.2.10

约去 $3$ 和 $3 x - 9$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.10.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

解题步骤 2.1.2.10.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.10.2.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

解题步骤 2.1.2.10.2.2

从 $- 9$ 中分解出因数 $3$ 。

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

解题步骤 2.1.2.10.2.3

从 $3 (x) + 3 (- 3)$ 中分解出因数 $3$ 。

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

解题步骤 2.1.2.10.2.4

约去公因数。

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

解题步骤 2.1.2.10.2.5

重写表达式。

$1 - 4 \frac{1}{x - 3}$

解题步骤 2.1.2.11

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{x - 3}$ 。

$1 + \frac{- 4}{x - 3}$

解题步骤 2.1.2.12

将负号移到分数的前面。

$1 - \frac{4}{x - 3}$

解题步骤 2.1.3

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{4}{x - 3}$

解题步骤 2.1.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{x - 3 - 4}{x - 3}$

解题步骤 2.1.3.3

从 $- 3$ 中减去 $4$ 。

$f' (x) = \frac{x - 7}{x - 3}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{x - 7}{x - 3}$ 。

$\frac{x - 7}{x - 3}$

解题步骤 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{x - 7}{x - 3} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{x - 7}{x - 3} = 0$

解题步骤 3.2

将分子设为等于零。

$x - 7 = 0$

解题步骤 3.3

在等式两边都加上 $7$ 。

$x = 7$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ 的值为 $7$ 。

$7$

解题步骤 5

求导数无意义的位置。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将 $\frac{x - 7}{x - 3}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x - 3 = 0$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 6

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, 3) \cup (3, 7) \cup (7, \infty)$

解题步骤 7

排除不在定义域中的区间。

$(3, 7)$

解题步骤 8

将区间 $(3, 7)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f' (5) = \frac{(5) - 7}{(5) - 3}$

解题步骤 8.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

从 $5$ 中减去 $7$ 。

$f' (5) = \frac{- 2}{5 - 3}$

解题步骤 8.2.2

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$f' (5) = \frac{- 2}{2}$

解题步骤 8.2.3

用 $- 2$ 除以 $2$ 。

$f' (5) = - 1$

解题步骤 8.2.4

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 8.3

在 $x = 5$ 处，导数为 $- 1$ 。由于其值为负，函数在 $(3, 7)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(3, 7)$ 上递减

解题步骤 9

排除不在定义域中的区间。

$(3, 7), (7, \infty)$

解题步骤 10

将区间 $(7, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

使用表达式中的 $8$ 替换变量 $x$ 。

$f' (8) = \frac{(8) - 7}{(8) - 3}$

解题步骤 10.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.1

从 $8$ 中减去 $7$ 。

$f' (8) = \frac{1}{8 - 3}$

解题步骤 10.2.2

从 $8$ 中减去 $3$ 。

$f' (8) = \frac{1}{5}$

解题步骤 10.2.3

最终答案为 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{1}{5}$

解题步骤 10.3

在 $x = 8$ 处，导数为 $\frac{1}{5}$ 。由于其值为正，函数在 $(7, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(7, \infty)$ 上递增

解题步骤 11

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(7, \infty)$

递减于： $(3, 7)$

解题步骤 12

微积分学 示例

微积分学示例