微积分学示例

$e^{- x^{2}}$

解题步骤 1

将 $e^{- x^{2}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = e^{- x^{2}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.3

使用 $- x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

解题步骤 2.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

解题步骤 2.1.3

化简。

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解题步骤 2.1.3.1

重新排序 $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ 的因式。

$- 2 e^{- x^{2}} x$

解题步骤 2.1.3.2

将 $- 2 e^{- x^{2}} x$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = - 2 x e^{- x^{2}}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x e^{- x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{- x^{2}}$ 。

$- 2 (x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x^{2}$ 。

$- 2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $- x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 2 (x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.2.4

求微分。

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解题步骤 2.2.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 2 (x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 2 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.2.4.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 (x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 (x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 (x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 (x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.2.8

化简表达式。

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解题步骤 2.2.8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.2.8.2

将 $- 2$ 移到 $e^{- x^{2}}$ 的左侧。

$- 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

解题步骤 2.2.10

将 $e^{- x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.11

化简。

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解题步骤 2.2.11.1

运用分配律。

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 e^{- x^{2}}$

解题步骤 2.2.11.2

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

解题步骤 2.2.11.3

重新排序项。

$4 e^{- x^{2}} x^{2} - 2 e^{- x^{2}}$

解题步骤 2.2.11.4

将 $4 e^{- x^{2}} x^{2} - 2 e^{- x^{2}}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$ 。

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}} = 0$

解题步骤 3.2

从 $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$ 中分解出因数 $2 e^{- x^{2}}$ 。

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解题步骤 3.2.1

从 $4 x^{2} e^{- x^{2}}$ 中分解出因数 $2 e^{- x^{2}}$ 。

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) - 2 e^{- x^{2}} = 0$

解题步骤 3.2.2

从 $- 2 e^{- x^{2}}$ 中分解出因数 $2 e^{- x^{2}}$ 。

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{- x^{2}} (- 1) = 0$

解题步骤 3.2.3

从 $2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{- x^{2}} (- 1)$ 中分解出因数 $2 e^{- x^{2}}$ 。

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{- x^{2}} = 0$

$2 x^{2} - 1 = 0$

解题步骤 3.4

将 $e^{- x^{2}}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $e^{- x^{2}}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{- x^{2}} = 0$

解题步骤 3.4.2

求解 $x$ 的 $e^{- x^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- x^{2}}) = \ln (0)$

解题步骤 3.4.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 3.4.2.3

$e^{- x^{2}} = 0$ 无解

无解

解题步骤 3.5

将 $2 x^{2} - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $2 x^{2} - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 x^{2} - 1 = 0$

解题步骤 3.5.2

求解 $x$ 的 $2 x^{2} - 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 x^{2} = 1$

解题步骤 3.5.2.2

将 $2 x^{2} = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.5.2.2.1

将 $2 x^{2} = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.5.2.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.5.2.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3.5.2.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.5.2.4.1

将 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.5.2.4.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.5.2.4.3

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.5.2.4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 3.5.2.4.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.5.2.4.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.5.2.4.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 3.5.2.4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.5.2.4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 3.5.2.4.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.5.2.4.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.5.2.4.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.5.2.4.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.5.2.4.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.4.4.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.5.2.4.4.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 3.5.2.4.4.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.5.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.5.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.5.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.5.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.6

最终解为使 $2 e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 代入 $f (x) = e^{- x^{2}}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 4.1.2.2

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 4.1.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

解题步骤 4.1.2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 4.1.2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.2.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 4.1.2.2.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

解题步骤 4.1.2.2.5

计算指数。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

解题步骤 4.1.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{4}}$

解题步骤 4.1.2.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

解题步骤 4.1.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 4.1.2.4.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 4.1.2.4.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 4.1.2.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.2.6

最终答案为 $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2

通过将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 代入 $f (x) = e^{- x^{2}}$ 中求得的点为 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 4.3

将 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 代入 $f (x) = e^{- x^{2}}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})}$

解题步骤 4.3.2.1.2

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

解题步骤 4.3.2.2

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.2.2.1

移动 ${(- 1)}^{2}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

解题步骤 4.3.2.2.2

将 ${(- 1)}^{2}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 4.3.2.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{2} \cdot ({(- 1)}^{1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

解题步骤 4.3.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

解题步骤 4.3.2.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

解题步骤 4.3.2.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 4.3.2.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 4.3.2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 4.3.2.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

解题步骤 4.3.2.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 4.3.2.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.4.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 4.3.2.4.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

解题步骤 4.3.2.4.5

计算指数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

解题步骤 4.3.2.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{4}}$

解题步骤 4.3.2.6

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.6.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

解题步骤 4.3.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.6.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 4.3.2.6.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 4.3.2.6.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 4.3.2.7

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.3.2.8

最终答案为 $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.4

通过将 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 代入 $f (x) = e^{- x^{2}}$ 中求得的点为 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 4.5

确定可能是拐点的点。

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 0.80710678$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.80710678) = 4 {(- 0.80710678)}^{2} e^{- {(- 0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 0.80710678$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.80710678) = 4 \cdot (0.65142135 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}) - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $4$ 乘以 $0.65142135$ 。

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3

对 $- 0.80710678$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 e^{- 1 \cdot 0.65142135} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $0.65142135$ 。

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 e^{- 0.65142135} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 (\frac{1}{e^{0.65142135}}) - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.6

组合 $2.60568542$ 和 $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ 。

$f'' (- 0.80710678) = \frac{2.60568542}{e^{0.65142135}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.7

使用近似值替换 $e$ 。

$f'' (- 0.80710678) = \frac{2.60568542}{{2.71828182}^{0.65142135}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.8

对 $2.71828182$ 进行 $0.65142135$ 次方运算。

$f'' (- 0.80710678) = \frac{2.60568542}{1.91826543} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.9

用 $2.60568542$ 除以 $1.91826543$ 。

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.10

对 $- 0.80710678$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 1 \cdot 0.65142135}$

解题步骤 6.2.1.11

将 $- 1$ 乘以 $0.65142135$ 。

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 0.65142135}$

解题步骤 6.2.1.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 \frac{1}{e^{0.65142135}}$

解题步骤 6.2.1.13

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ 。

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 + \frac{- 2}{e^{0.65142135}}$

解题步骤 6.2.1.14

将负号移到分数的前面。

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - \frac{2}{e^{0.65142135}}$

解题步骤 6.2.2

从 $1.35835499$ 中减去 $\frac{2}{e^{0.65142135}}$ 。

$f'' (- 0.80710678) = 0.31574641$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $0.31574641$ 。

$0.31574641$

解题步骤 6.3

在 $- 0.80710678$ 处，二阶导数为 $0.31574641$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = 4 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = 4 \cdot (0 e^{- {(0)}^{2}}) - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 e^{- {(0)}^{2}} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = 0 e^{- 0} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 e^{0} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.5

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.6

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$f'' (0) = 0 - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.7

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = 0 - 2 e^{- 0}$

解题步骤 7.2.1.8

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 - 2 e^{0}$

解题步骤 7.2.1.9

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$f'' (0) = 0 - 2 \cdot 1$

解题步骤 7.2.1.10

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (0) = 0 - 2$

解题步骤 7.2.2

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$f'' (0) = - 2$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 2$ 。

$- 2$

解题步骤 7.3

在 $0$ ，二阶导数为 $- 2$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $0.80710678$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.80710678) = 4 {(0.80710678)}^{2} e^{- {(0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $0.80710678$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.80710678) = 4 \cdot (0.65142135 e^{- {(0.80710678)}^{2}}) - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2

将 $4$ 乘以 $0.65142135$ 。

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 e^{- {(0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.3

对 $0.80710678$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 e^{- 1 \cdot 0.65142135} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $0.65142135$ 。

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 e^{- 0.65142135} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 (\frac{1}{e^{0.65142135}}) - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.6

组合 $2.60568542$ 和 $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ 。

$f'' (0.80710678) = \frac{2.60568542}{e^{0.65142135}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.7

使用近似值替换 $e$ 。

$f'' (0.80710678) = \frac{2.60568542}{{2.71828182}^{0.65142135}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.8

对 $2.71828182$ 进行 $0.65142135$ 次方运算。

$f'' (0.80710678) = \frac{2.60568542}{1.91826543} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.9

用 $2.60568542$ 除以 $1.91826543$ 。

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.10

对 $0.80710678$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 1 \cdot 0.65142135}$

解题步骤 8.2.1.11

将 $- 1$ 乘以 $0.65142135$ 。

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 0.65142135}$

解题步骤 8.2.1.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 \frac{1}{e^{0.65142135}}$

解题步骤 8.2.1.13

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ 。

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 + \frac{- 2}{e^{0.65142135}}$

解题步骤 8.2.1.14

将负号移到分数的前面。

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - \frac{2}{e^{0.65142135}}$

解题步骤 8.2.2

从 $1.35835499$ 中减去 $\frac{2}{e^{0.65142135}}$ 。

$f'' (0.80710678) = 0.31574641$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $0.31574641$ 。

$0.31574641$

解题步骤 8.3

在 $0.80710678$ 处，二阶导数为 $0.31574641$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ 。

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例