微积分学示例

$y = \frac{x + 1}{x - 1}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x + 1}{x - 1})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + 1$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

化简表达式。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.4.2

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.5

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8

化简表达式。

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解题步骤 3.2.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

化简分子。

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解题步骤 3.3.2.1

合并 $x - 1 - x - 1 \cdot 1$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 1 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.3

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$

微积分学 示例

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