微积分学示例

$f (x) = x^{4} + x^{3} - 18 x^{2} + 7$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} + x^{3} - 18 x^{2} + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)$

解题步骤 1.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 18 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 18 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (7)$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

解题步骤 1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 18$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + \frac{d}{d x} (7)$

解题步骤 1.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + 0$

解题步骤 1.1.3.2

将 $4 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $4 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

解题步骤 1.2.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

解题步骤 1.2.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

解题步骤 1.2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

因为 $- 36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 36 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 36 \frac{d}{d x} x$

解题步骤 1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 36 \cdot 1$

解题步骤 1.2.4.3

将 $- 36$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 36$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $12 x^{2} + 6 x - 36$ 。

$12 x^{2} + 6 x - 36$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $12 x^{2} + 6 x - 36 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$12 x^{2} + 6 x - 36 = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

从 $12 x^{2} + 6 x - 36$ 中分解出因数 $6$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (2 x^{2}) + 6 x - 36 = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $6 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) - 36 = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $- 36$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (2 x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 6 = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $6 (2 x^{2}) + 6 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (2 x^{2} + x) + 6 \cdot - 6 = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $6 (2 x^{2} + x) + 6 \cdot - 6$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (2 x^{2} + x - 6) = 0$

解题步骤 2.2.2

因数。

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解题步骤 2.2.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ 并且它们的和为 $b = 1$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1.1

乘以 $1$ 。

$6 (2 x^{2} + 1 x - 6) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.1.2

把 $1$ 重写为 $- 3$ 加 $4$

$6 (2 x^{2} + (- 3 + 4) x - 6) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.1.3

运用分配律。

$6 (2 x^{2} - 3 x + 4 x - 6) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$6 ((2 x^{2} - 3 x) + 4 x - 6) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$6 (x (2 x - 3) + 2 (2 x - 3)) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $2 x - 3$ 来因式分解多项式。

$6 ((2 x - 3) (x + 2)) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

去掉多余的括号。

$6 (2 x - 3) (x + 2) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.4

将 $2 x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $2 x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$2 x - 3 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $2 x - 3 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$2 x = 3$

解题步骤 2.4.2.2

将 $2 x = 3$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $2 x = 3$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

解题步骤 2.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

解题步骤 2.4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{3}{2}$

解题步骤 2.5

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 2.6

最终解为使 $6 (2 x - 3) (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{3}{2}, - 2$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{3}{2}$ 代入 $f (x) = x^{4} + x^{3} - 18 x^{2} + 7$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $\frac{3}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{3}{2}) = {(\frac{3}{2})}^{4} + {(\frac{3}{2})}^{3} - 18 {(\frac{3}{2})}^{2} + 7$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{3^{4}}{2^{4}} + {(\frac{3}{2})}^{3} - 18 {(\frac{3}{2})}^{2} + 7$

解题步骤 3.1.2.1.2

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{2^{4}} + {(\frac{3}{2})}^{3} - 18 {(\frac{3}{2})}^{2} + 7$

解题步骤 3.1.2.1.3

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + {(\frac{3}{2})}^{3} - 18 {(\frac{3}{2})}^{2} + 7$

解题步骤 3.1.2.1.4

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{3^{3}}{2^{3}} - 18 {(\frac{3}{2})}^{2} + 7$

解题步骤 3.1.2.1.5

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{2^{3}} - 18 {(\frac{3}{2})}^{2} + 7$

解题步骤 3.1.2.1.6

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} - 18 {(\frac{3}{2})}^{2} + 7$

解题步骤 3.1.2.1.7

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} - 18 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 7$

解题步骤 3.1.2.1.8

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} - 18 \frac{9}{2^{2}} + 7$

解题步骤 3.1.2.1.9

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} - 18 (\frac{9}{4}) + 7$

解题步骤 3.1.2.1.10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.10.1

从 $- 18$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} + 2 (- 9) (\frac{9}{4}) + 7$

解题步骤 3.1.2.1.10.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} + 2 \cdot (- 9 \frac{9}{2 \cdot 2}) + 7$

解题步骤 3.1.2.1.10.3

约去公因数。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} + 2 \cdot (- 9 \frac{9}{2 \cdot 2}) + 7$

解题步骤 3.1.2.1.10.4

重写表达式。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} - 9 (\frac{9}{2}) + 7$

解题步骤 3.1.2.1.11

组合 $- 9$ 和 $\frac{9}{2}$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} + \frac{- 9 \cdot 9}{2} + 7$

解题步骤 3.1.2.1.12

将 $- 9$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} + \frac{- 81}{2} + 7$

解题步骤 3.1.2.1.13

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} - \frac{81}{2} + 7$

解题步骤 3.1.2.2

求公分母。

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解题步骤 3.1.2.2.1

将 $\frac{27}{8}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} \cdot \frac{2}{2} - \frac{81}{2} + 7$

解题步骤 3.1.2.2.2

将 $\frac{27}{8}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 2}{8 \cdot 2} - \frac{81}{2} + 7$

解题步骤 3.1.2.2.3

将 $\frac{81}{2}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 2}{8 \cdot 2} - (\frac{81}{2} \cdot \frac{8}{8}) + 7$

解题步骤 3.1.2.2.4

将 $\frac{81}{2}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 2}{8 \cdot 2} - \frac{81 \cdot 8}{2 \cdot 8} + 7$

解题步骤 3.1.2.2.5

将 $7$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 2}{8 \cdot 2} - \frac{81 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{7}{1}$

解题步骤 3.1.2.2.6

将 $\frac{7}{1}$ 乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 2}{8 \cdot 2} - \frac{81 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{7}{1} \cdot \frac{16}{16}$

解题步骤 3.1.2.2.7

将 $\frac{7}{1}$ 乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 2}{8 \cdot 2} - \frac{81 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{7 \cdot 16}{16}$

解题步骤 3.1.2.2.8

重新排序 $8 \cdot 2$ 的因式。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 8} - \frac{81 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{7 \cdot 16}{16}$

解题步骤 3.1.2.2.9

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 2}{16} - \frac{81 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{7 \cdot 16}{16}$

解题步骤 3.1.2.2.10

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 2}{16} - \frac{81 \cdot 8}{16} + \frac{7 \cdot 16}{16}$

解题步骤 3.1.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81 + 27 \cdot 2 - 81 \cdot 8 + 7 \cdot 16}{16}$

解题步骤 3.1.2.4

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.4.1

将 $27$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81 + 54 - 81 \cdot 8 + 7 \cdot 16}{16}$

解题步骤 3.1.2.4.2

将 $- 81$ 乘以 $8$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81 + 54 - 648 + 7 \cdot 16}{16}$

解题步骤 3.1.2.4.3

将 $7$ 乘以 $16$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81 + 54 - 648 + 112}{16}$

解题步骤 3.1.2.5

化简表达式。

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解题步骤 3.1.2.5.1

将 $81$ 和 $54$ 相加。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{135 - 648 + 112}{16}$

解题步骤 3.1.2.5.2

从 $135$ 中减去 $648$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{- 513 + 112}{16}$

解题步骤 3.1.2.5.3

将 $- 513$ 和 $112$ 相加。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{- 401}{16}$

解题步骤 3.1.2.5.4

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{401}{16}$

解题步骤 3.1.2.6

最终答案为 $- \frac{401}{16}$ 。

$- \frac{401}{16}$

解题步骤 3.2

通过将 $\frac{3}{2}$ 代入 $f (x) = x^{4} + x^{3} - 18 x^{2} + 7$ 中求得的点为 $(\frac{3}{2}, - \frac{401}{16})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\frac{3}{2}, - \frac{401}{16})$

解题步骤 3.3

将 $- 2$ 代入 $f (x) = x^{4} + x^{3} - 18 x^{2} + 7$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = {(- 2)}^{4} + {(- 2)}^{3} - 18 {(- 2)}^{2} + 7$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- 2) = 16 + {(- 2)}^{3} - 18 {(- 2)}^{2} + 7$

解题步骤 3.3.2.1.2

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 2) = 16 - 8 - 18 {(- 2)}^{2} + 7$

解题步骤 3.3.2.1.3

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 2) = 16 - 8 - 18 \cdot 4 + 7$

解题步骤 3.3.2.1.4

将 $- 18$ 乘以 $4$ 。

$f (- 2) = 16 - 8 - 72 + 7$

解题步骤 3.3.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 3.3.2.2.1

从 $16$ 中减去 $8$ 。

$f (- 2) = 8 - 72 + 7$

解题步骤 3.3.2.2.2

从 $8$ 中减去 $72$ 。

$f (- 2) = - 64 + 7$

解题步骤 3.3.2.2.3

将 $- 64$ 和 $7$ 相加。

$f (- 2) = - 57$

解题步骤 3.3.2.3

最终答案为 $- 57$ 。

$- 57$

解题步骤 3.4

通过将 $- 2$ 代入 $f (x) = x^{4} + x^{3} - 18 x^{2} + 7$ 中求得的点为 $(- 2, - 57)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 2, - 57)$

解题步骤 3.5

确定可能是拐点的点。

$(\frac{3}{2}, - \frac{401}{16}), (- 2, - 57)$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 2)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 2.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 2.1) = 12 {(- 2.1)}^{2} + 6 (- 2.1) - 36$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 2.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 2.1) = 12 \cdot 4.41 + 6 (- 2.1) - 36$

解题步骤 5.2.1.2

将 $12$ 乘以 $4.41$ 。

$f'' (- 2.1) = 52.92 + 6 (- 2.1) - 36$

解题步骤 5.2.1.3

将 $6$ 乘以 $- 2.1$ 。

$f'' (- 2.1) = 52.92 - 12.6 - 36$

解题步骤 5.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $52.92$ 中减去 $12.6$ 。

$f'' (- 2.1) = 40.32 - 36$

解题步骤 5.2.2.2

从 $40.32$ 中减去 $36$ 。

$f'' (- 2.1) = 4.32$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $4.32$ 。

$4.32$

解题步骤 5.3

在 $- 2.1$ 处，二阶导数为 $4.32$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, - 2)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 2)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(- 2, \frac{3}{2})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 0.25$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.25) = 12 {(- 0.25)}^{2} + 6 (- 0.25) - 36$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 0.25$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.25) = 12 \cdot 0.0625 + 6 (- 0.25) - 36$

解题步骤 6.2.1.2

将 $12$ 乘以 $0.0625$ 。

$f'' (- 0.25) = 0.75 + 6 (- 0.25) - 36$

解题步骤 6.2.1.3

将 $6$ 乘以 $- 0.25$ 。

$f'' (- 0.25) = 0.75 - 1.5 - 36$

解题步骤 6.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $0.75$ 中减去 $1.5$ 。

$f'' (- 0.25) = - 0.75 - 36$

解题步骤 6.2.2.2

从 $- 0.75$ 中减去 $36$ 。

$f'' (- 0.25) = - 36.75$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 36.75$ 。

$- 36.75$

解题步骤 6.3

在 $- 0.25$ ，二阶导数为 $- 36.75$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- 2, \frac{3}{2})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- 2, \frac{3}{2})$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(\frac{3}{2}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $1.6$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (1.6) = 12 {(1.6)}^{2} + 6 (1.6) - 36$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $1.6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (1.6) = 12 \cdot 2.56 + 6 (1.6) - 36$

解题步骤 7.2.1.2

将 $12$ 乘以 $2.56$ 。

$f'' (1.6) = 30.72 + 6 (1.6) - 36$

解题步骤 7.2.1.3

将 $6$ 乘以 $1.6$ 。

$f'' (1.6) = 30.72 + 9.6 - 36$

解题步骤 7.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $30.72$ 和 $9.6$ 相加。

$f'' (1.6) = 40.32 - 36$

解题步骤 7.2.2.2

从 $40.32$ 中减去 $36$ 。

$f'' (1.6) = 4.32$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $4.32$ 。

$4.32$

解题步骤 7.3

在 $1.6$ 处，二阶导数为 $4.32$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(\frac{3}{2}, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\frac{3}{2}, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, - 57), (\frac{3}{2}, - \frac{401}{16})$ .

$(- 2, - 57), (\frac{3}{2}, - \frac{401}{16})$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例