微积分学示例

$f (x) = x^{\frac{5}{7}}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{7}$ 。

$\frac{5}{7} x^{\frac{5}{7} - 1}$

解题步骤 1.1.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{5}{7} x^{\frac{5}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}}$

解题步骤 1.1.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{5}{7} x^{\frac{5}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}}$

解题步骤 1.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{5}{7} x^{\frac{5 - 1 \cdot 7}{7}}$

解题步骤 1.1.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$\frac{5}{7} x^{\frac{5 - 7}{7}}$

解题步骤 1.1.5.2

从 $5$ 中减去 $7$ 。

$\frac{5}{7} x^{\frac{- 2}{7}}$

解题步骤 1.1.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{5}{7} x^{- \frac{2}{7}}$

解题步骤 1.1.7

化简。

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解题步骤 1.1.7.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{5}{7} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}$

解题步骤 1.1.7.2

将 $\frac{5}{7}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}$ 。

$f' (x) = \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

因为 $\frac{5}{7}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}]$ 。

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}]$

解题步骤 1.2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{2}{7}})}^{- 1}$ 。

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{7}})}^{- 1}]$

解题步骤 1.2.2.2

将 ${(x^{\frac{2}{7}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{7} \cdot - 1}]$

解题步骤 1.2.2.2.2

乘以 $\frac{2}{7} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 1.2.2.2.2.1

组合 $\frac{2}{7}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{7}}]$

解题步骤 1.2.2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{7}}]$

解题步骤 1.2.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{7}}]$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{2}{7}$ 。

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{- \frac{2}{7} - 1})$

解题步骤 1.2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{- \frac{2}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

解题步骤 1.2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{- \frac{2}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

解题步骤 1.2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 7}{7}})$

解题步骤 1.2.7

化简分子。

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解题步骤 1.2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{\frac{- 2 - 7}{7}})$

解题步骤 1.2.7.2

从 $- 2$ 中减去 $7$ 。

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{\frac{- 9}{7}})$

解题步骤 1.2.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{- \frac{9}{7}})$

解题步骤 1.2.9

组合 $x^{- \frac{9}{7}}$ 和 $\frac{2}{7}$ 。

$\frac{5}{7} (- \frac{x^{- \frac{9}{7}} \cdot 2}{7})$

解题步骤 1.2.10

将 $\frac{5}{7}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{9}{7}} \cdot 2}{7}$ 。

$- \frac{5 (x^{- \frac{9}{7}} \cdot 2)}{7 \cdot 7}$

解题步骤 1.2.11

乘。

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解题步骤 1.2.11.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{10 x^{- \frac{9}{7}}}{7 \cdot 7}$

解题步骤 1.2.11.2

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$- \frac{10 x^{- \frac{9}{7}}}{49}$

解题步骤 1.2.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{9}{7}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - \frac{10}{49 x^{\frac{9}{7}}}$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- \frac{10}{49 x^{\frac{9}{7}}}$ 。

$- \frac{10}{49 x^{\frac{9}{7}}}$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{10}{49 x^{\frac{9}{7}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{10}{49 x^{\frac{9}{7}}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$10 = 0$

解题步骤 2.3

因为 $10 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 3

找不到使二阶导数等于 $0$ 的值。

不存在拐点

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