微积分学示例

$f (x) = x^{\frac{5}{3}} + 3$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{\frac{5}{3}} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{3}$ 。

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.2.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.2.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.2.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.2.5.2

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 0$

解题步骤 1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.4.1

将 $\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1.1.4.2

组合 $\frac{5}{3}$ 和 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$f' (x) = \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

因为 $\frac{5}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ 。

$\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

解题步骤 1.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 1.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.2.6

化简分子。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

解题步骤 1.2.6.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

解题步骤 1.2.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

解题步骤 1.2.8

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$\frac{5}{3} \cdot \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 1.2.9

将 $\frac{5}{3}$ 乘以 $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 。

$\frac{5 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.10

乘。

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解题步骤 1.2.10.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{3 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.10.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{9}$

解题步骤 1.2.10.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}}$ 。

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$10 = 0$

解题步骤 2.3

因为 $10 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 3

找不到使二阶导数等于 $0$ 的值。

不存在拐点

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