微积分学示例

$f (x) = \sqrt[3]{9 x^{2} + 18}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{9 x^{2} + 18}$ 重写成 ${(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = 9 x^{2} + 18$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $9 x^{2} + 18$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $9 x^{2} + 18$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

解题步骤 1.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

解题步骤 1.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

解题步骤 1.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

解题步骤 1.1.6

化简分子。

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解题步骤 1.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

解题步骤 1.1.6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

解题步骤 1.1.7

合并分数。

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解题步骤 1.1.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

解题步骤 1.1.7.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(9 x^{2} + 18)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{{(9 x^{2} + 18)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

解题步骤 1.1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(9 x^{2} + 18)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

解题步骤 1.1.8

根据加法法则， $9 x^{2} + 18$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$ 。

$\frac{1}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18])$

解题步骤 1.1.9

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [18])$

解题步骤 1.1.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [18])$

解题步骤 1.1.11

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$\frac{1}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}} (18 x + \frac{d}{d x} [18])$

解题步骤 1.1.12

因为 $18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $18$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}} (18 x + 0)$

解题步骤 1.1.13

化简项。

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解题步骤 1.1.13.1

将 $18 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}} (18 x)$

解题步骤 1.1.13.2

组合 $18$ 和 $\frac{1}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{18}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}} x$

解题步骤 1.1.13.3

组合 $\frac{18}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{18 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.13.4

从 $18 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (6 x)}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.14

约去公因数。

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解题步骤 1.1.14.1

从 $3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (6 x)}{3 ({(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 1.1.14.2

约去公因数。

$\frac{3 (6 x)}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.14.3

重写表达式。

$f' (x) = \frac{6 x}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{6 x}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}}]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 1.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}]}{{({(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.2.3.1

将 ${({(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}]}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3} \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.3.1.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot 2$ 。

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解题步骤 1.2.3.1.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $2$ 。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}]}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}}$

解题步骤 1.2.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}]}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}]}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.3.3

将 ${(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}$ 乘以 $1$ 。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}]}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (x) = 9 x^{2} + 18$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $9 x^{2} + 18$ 。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.3

使用 $9 x^{2} + 18$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.7

在公分母上合并分子。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.8

化简分子。

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解题步骤 1.2.8.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.8.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.9

合并分数。

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解题步骤 1.2.9.1

将负号移到分数的前面。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.9.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${(9 x^{2} + 18)}^{- \frac{1}{3}}$ 。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2 {(9 x^{2} + 18)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.9.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(9 x^{2} + 18)}^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.9.4

组合 $\frac{2}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}$ 和 $x$ 。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.10

根据加法法则， $9 x^{2} + 18$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$ 。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.11

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.13

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} (18 x + \frac{d}{d x} [18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.14

因为 $18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $18$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} (18 x + 0)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.15

合并分数。

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解题步骤 1.2.15.1

将 $18 x$ 和 $0$ 相加。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} (18 x)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.15.2

将 $18$ 乘以 $- 1$ 。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - 18 \frac{2 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} x}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.15.3

组合 $- 18$ 和 $\frac{2 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 18 (2 x)}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} x}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.15.4

将 $2$ 乘以 $- 18$ 。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 36 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} x}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.15.5

组合 $\frac{- 36 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}$ 和 $x$ 。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 36 x \cdot x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.16

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 36 (x^{1} x)}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.17

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 36 (x^{1} x^{1})}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.18

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 36 x^{1 + 1}}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.19

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 36 x^{2}}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.20

从 $- 36 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{3 (- 12 x^{2})}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.21

约去公因数。

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解题步骤 1.2.21.1

从 $3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{3 (- 12 x^{2})}{3 ({(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}})}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.21.2

约去公因数。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{3 (- 12 x^{2})}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.21.3

重写表达式。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 12 x^{2}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.22

将负号移到分数的前面。

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - \frac{12 x^{2}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.23

要将 ${(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$6 \frac{\frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{12 x^{2}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.24

在公分母上合并分子。

$6 \frac{\frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}} - 12 x^{2}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.25

通过指数相加将 ${(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}$ 乘以 ${(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 1.2.25.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 \frac{\frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - 12 x^{2}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.25.2

在公分母上合并分子。

$6 \frac{\frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2 + 1}{3}} - 12 x^{2}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.25.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$6 \frac{\frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{3}{3}} - 12 x^{2}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.25.4

用 $3$ 除以 $3$ 。

$6 \frac{\frac{{(9 x^{2} + 18)}^{1} - 12 x^{2}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.26

化简 ${(9 x^{2} + 18)}^{1}$ 。

$6 \frac{\frac{9 x^{2} + 18 - 12 x^{2}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.27

从 $9 x^{2}$ 中减去 $12 x^{2}$ 。

$6 \frac{\frac{- 3 x^{2} + 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.28

将 $\frac{\frac{- 3 x^{2} + 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$ 重写为乘积形式。

$6 (\frac{- 3 x^{2} + 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}})$

解题步骤 1.2.29

将 $\frac{- 3 x^{2} + 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}$ 乘以 $\frac{1}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$ 。

$6 \frac{- 3 x^{2} + 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.30

通过指数相加将 ${(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 ${(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 1.2.30.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 \frac{- 3 x^{2} + 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.30.2

在公分母上合并分子。

$6 \frac{- 3 x^{2} + 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1 + 4}{3}}}$

解题步骤 1.2.30.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$6 \frac{- 3 x^{2} + 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 1.2.31

组合 $6$ 和 $\frac{- 3 x^{2} + 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$ 。

$\frac{6 (- 3 x^{2} + 18)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 1.2.32

化简。

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解题步骤 1.2.32.1

运用分配律。

$\frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 1.2.32.2

化简每一项。

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解题步骤 1.2.32.2.1

将 $- 3$ 乘以 $6$ 。

$\frac{- 18 x^{2} + 6 \cdot 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 1.2.32.2.2

将 $6$ 乘以 $18$ 。

$\frac{- 18 x^{2} + 108}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 1.2.32.3

从 $- 18 x^{2} + 108$ 中分解出因数 $18$ 。

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解题步骤 1.2.32.3.1

从 $- 18 x^{2}$ 中分解出因数 $18$ 。

$\frac{18 (- x^{2}) + 108}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 1.2.32.3.2

从 $108$ 中分解出因数 $18$ 。

$\frac{18 (- x^{2}) + 18 (6)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 1.2.32.3.3

从 $18 (- x^{2}) + 18 (6)$ 中分解出因数 $18$ 。

$\frac{18 (- x^{2} + 6)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 1.2.32.4

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{18 (- (x^{2}) + 6)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 1.2.32.5

将 $6$ 重写为 $- 1 (- 6)$ 。

$\frac{18 (- (x^{2}) - 1 (- 6))}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 1.2.32.6

从 $- (x^{2}) - 1 (- 6)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{18 (- (x^{2} - 6))}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 1.2.32.7

将 $- (x^{2} - 6)$ 重写为 $- 1 (x^{2} - 6)$ 。

$\frac{18 (- 1 (x^{2} - 6))}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 1.2.32.8

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{18 (x^{2} - 6)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- \frac{18 (x^{2} - 6)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$ 。

$- \frac{18 (x^{2} - 6)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{18 (x^{2} - 6)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{18 (x^{2} - 6)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$18 (x^{2} - 6) = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

将 $18 (x^{2} - 6) = 0$ 中的每一项除以 $18$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $18 (x^{2} - 6) = 0$ 中的每一项都除以 $18$ 。

$\frac{18 (x^{2} - 6)}{18} = \frac{0}{18}$

解题步骤 2.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.1.2.1

约去 $18$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{18 (x^{2} - 6)}{18} = \frac{0}{18}$

解题步骤 2.3.1.2.1.2

用 $x^{2} - 6$ 除以 $1$ 。

$x^{2} - 6 = \frac{0}{18}$

解题步骤 2.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $18$ 。

$x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$x^{2} = 6$

解题步骤 2.3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{6}$

解题步骤 2.3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{6}$

解题步骤 2.3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{6}$

解题步骤 2.3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $\sqrt{6}$ 代入 $f (x) = \sqrt[3]{9 x^{2} + 18}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $\sqrt{6}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 {(\sqrt{6})}^{2} + 18}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + 18}$

解题步骤 3.1.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 18}$

解题步骤 3.1.2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 18}$

解题步骤 3.1.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.4.1

约去公因数。

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 18}$

解题步骤 3.1.2.1.4.2

重写表达式。

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 \cdot 6 + 18}$

解题步骤 3.1.2.1.5

计算指数。

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 \cdot 6 + 18}$

解题步骤 3.1.2.2

化简表达式。

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解题步骤 3.1.2.2.1

将 $9$ 乘以 $6$ 。

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{54 + 18}$

解题步骤 3.1.2.2.2

将 $54$ 和 $18$ 相加。

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{72}$

解题步骤 3.1.2.3

将 $72$ 重写为 $2^{3} \cdot 9$ 。

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解题步骤 3.1.2.3.1

从 $72$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{8 (9)}$

解题步骤 3.1.2.3.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 9}$

解题步骤 3.1.2.4

从根式下提出各项。

$f (\sqrt{6}) = 2 \sqrt[3]{9}$

解题步骤 3.1.2.5

最终答案为 $2 \sqrt[3]{9}$ 。

$2 \sqrt[3]{9}$

解题步骤 3.2

通过将 $\sqrt{6}$ 代入 $f (x) = \sqrt[3]{9 x^{2} + 18}$ 中求得的点为 $(\sqrt{6}, 2 \sqrt[3]{9})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\sqrt{6}, 2 \sqrt[3]{9})$

解题步骤 3.3

将 $- \sqrt{6}$ 代入 $f (x) = \sqrt[3]{9 x^{2} + 18}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $- \sqrt{6}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 {(- \sqrt{6})}^{2} + 18}$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

化简表达式。

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解题步骤 3.3.2.1.1

对 $- \sqrt{6}$ 运用乘积法则。

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{6}}^{2}) + 18}$

解题步骤 3.3.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 (1 {\sqrt{6}}^{2}) + 18}$

解题步骤 3.3.2.1.3

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 {\sqrt{6}}^{2} + 18}$

解题步骤 3.3.2.2

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 3.3.2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + 18}$

解题步骤 3.3.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 18}$

解题步骤 3.3.2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 18}$

解题步骤 3.3.2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.4.1

约去公因数。

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 18}$

解题步骤 3.3.2.2.4.2

重写表达式。

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 \cdot 6 + 18}$

解题步骤 3.3.2.2.5

计算指数。

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 \cdot 6 + 18}$

解题步骤 3.3.2.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.2.3.1

将 $9$ 乘以 $6$ 。

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{54 + 18}$

解题步骤 3.3.2.3.2

将 $54$ 和 $18$ 相加。

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{72}$

解题步骤 3.3.2.4

将 $72$ 重写为 $2^{3} \cdot 9$ 。

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解题步骤 3.3.2.4.1

从 $72$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{8 (9)}$

解题步骤 3.3.2.4.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 9}$

解题步骤 3.3.2.5

从根式下提出各项。

$f (- \sqrt{6}) = 2 \sqrt[3]{9}$

解题步骤 3.3.2.6

最终答案为 $2 \sqrt[3]{9}$ 。

$2 \sqrt[3]{9}$

解题步骤 3.4

通过将 $- \sqrt{6}$ 代入 $f (x) = \sqrt[3]{9 x^{2} + 18}$ 中求得的点为 $(- \sqrt{6}, 2 \sqrt[3]{9})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- \sqrt{6}, 2 \sqrt[3]{9})$

解题步骤 3.5

确定可能是拐点的点。

$(\sqrt{6}, 2 \sqrt[3]{9}), (- \sqrt{6}, 2 \sqrt[3]{9})$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - \sqrt{6})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 2.54948974$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 2.54948974) = - \frac{18 ({(- 2.54948974)}^{2} - 6)}{{(9 {(- 2.54948974)}^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 2.54948974$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 2.54948974) = - \frac{18 (6.49989794 - 6)}{{(9 {(- 2.54948974)}^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 5.2.1.2

从 $6.49989794$ 中减去 $6$ 。

$f'' (- 2.54948974) = - \frac{18 \cdot 0.49989794}{{(9 {(- 2.54948974)}^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 5.2.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1.1

对 $- 2.54948974$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 2.54948974) = - \frac{18 \cdot 0.49989794}{{(9 \cdot 6.49989794 + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 5.2.2.1.2

将 $9$ 乘以 $6.49989794$ 。

$f'' (- 2.54948974) = - \frac{18 \cdot 0.49989794}{{(58.49908153 + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $58.49908153$ 和 $18$ 相加。

$f'' (- 2.54948974) = - \frac{18 \cdot 0.49989794}{{76.49908153}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 5.2.2.3

对 $76.49908153$ 进行 $\frac{5}{3}$ 次方运算。

$f'' (- 2.54948974) = - \frac{18 \cdot 0.49989794}{1378.56432329}$

解题步骤 5.2.3

化简表达式。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $18$ 乘以 $0.49989794$ 。

$f'' (- 2.54948974) = - \frac{8.99816307}{1378.56432329}$

解题步骤 5.2.3.2

用 $8.99816307$ 除以 $1378.56432329$ 。

$f'' (- 2.54948974) = - 1 \cdot 0.00652719$

解题步骤 5.2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $0.00652719$ 。

$f'' (- 2.54948974) = - 0.00652719$

解题步骤 5.2.4

最终答案为 $- 0.00652719$ 。

$- 0.00652719$

解题步骤 5.3

在 $- 2.54948974$ ，二阶导数为 $- 0.00652719$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, - \sqrt{6})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - \sqrt{6})$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(- \sqrt{6}, \sqrt{6})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = - \frac{18 ({(0)}^{2} - 6)}{{(9 {(0)}^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = - \frac{18 (0 - 6)}{{(9 \cdot 0^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.2.1.2

从 $0$ 中减去 $6$ 。

$f'' (0) = - \frac{18 \cdot - 6}{{(9 \cdot 0^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = - \frac{18 \cdot - 6}{{(9 \cdot 0 + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.2.2.1.2

将 $9$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = - \frac{18 \cdot - 6}{{(0 + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $0$ 和 $18$ 相加。

$f'' (0) = - \frac{18 \cdot - 6}{18^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.2.3

化简表达式。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $18$ 乘以 $- 6$ 。

$f'' (0) = - \frac{- 108}{18^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.2.3.2

将负号移到分数的前面。

$f'' (0) = \frac{108}{18^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $\frac{108}{18^{\frac{5}{3}}}$ 。

$\frac{108}{18^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.3

在 $0$ 处，二阶导数为 $0.87358046$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \sqrt{6}, \sqrt{6})$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \sqrt{6}, \sqrt{6})$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(\sqrt{6}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $2.54948974$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2.54948974) = - \frac{18 ({(2.54948974)}^{2} - 6)}{{(9 {(2.54948974)}^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $2.54948974$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (2.54948974) = - \frac{18 (6.49989794 - 6)}{{(9 \cdot {2.54948974}^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 7.2.1.2

从 $6.49989794$ 中减去 $6$ 。

$f'' (2.54948974) = - \frac{18 \cdot 0.49989794}{{(9 \cdot {2.54948974}^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.2.1.1

对 $2.54948974$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (2.54948974) = - \frac{18 \cdot 0.49989794}{{(9 \cdot 6.49989794 + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 7.2.2.1.2

将 $9$ 乘以 $6.49989794$ 。

$f'' (2.54948974) = - \frac{18 \cdot 0.49989794}{{(58.49908153 + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 7.2.2.2

将 $58.49908153$ 和 $18$ 相加。

$f'' (2.54948974) = - \frac{18 \cdot 0.49989794}{{76.49908153}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 7.2.2.3

对 $76.49908153$ 进行 $\frac{5}{3}$ 次方运算。

$f'' (2.54948974) = - \frac{18 \cdot 0.49989794}{1378.56432329}$

解题步骤 7.2.3

化简表达式。

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解题步骤 7.2.3.1

将 $18$ 乘以 $0.49989794$ 。

$f'' (2.54948974) = - \frac{8.99816307}{1378.56432329}$

解题步骤 7.2.3.2

用 $8.99816307$ 除以 $1378.56432329$ 。

$f'' (2.54948974) = - 1 \cdot 0.00652719$

解题步骤 7.2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $0.00652719$ 。

$f'' (2.54948974) = - 0.00652719$

解题步骤 7.2.4

最终答案为 $- 0.00652719$ 。

$- 0.00652719$

解题步骤 7.3

在 $2.54948974$ ，二阶导数为 $- 0.00652719$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(\sqrt{6}, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(\sqrt{6}, \infty)$ 上递减

解题步骤 8

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(- \sqrt{6}, 2 \sqrt[3]{9}), (\sqrt{6}, 2 \sqrt[3]{9})$ 。

$(- \sqrt{6}, 2 \sqrt[3]{9}), (\sqrt{6}, 2 \sqrt[3]{9})$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例