微积分学示例

$f (x) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + 6$

解题步骤 1

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $2 x^{4} - 4 x^{2} + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6)$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6)$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6)$

解题步骤 1.1.2.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = 8 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6)$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 8 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (6)$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 8 x^{3} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (6)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x + \frac{d}{d x} (6)$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $8 x^{3} - 8 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $8 x^{3} - 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

解题步骤 1.2.2.3

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 24 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 24 x^{2} - 8 \cdot 1$

解题步骤 1.2.3.3

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 24 x^{2} - 8$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $24 x^{2} - 8$ 。

$24 x^{2} - 8$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $24 x^{2} - 8 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$24 x^{2} - 8 = 0$

解题步骤 2.2

在等式两边都加上 $8$ 。

$24 x^{2} = 8$

解题步骤 2.3

将 $24 x^{2} = 8$ 中的每一项除以 $24$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将 $24 x^{2} = 8$ 中的每一项都除以 $24$ 。

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{8}{24}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

约去 $24$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{8}{24}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{8}{24}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1

约去 $8$ 和 $24$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $8$ 。

$x^{2} = \frac{8 (1)}{24}$

解题步骤 2.3.3.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1.2.1

从 $24$ 中分解出因数 $8$ 。

$x^{2} = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.3.1.2.2

约去公因数。

$x^{2} = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.3.1.2.3

重写表达式。

$x^{2} = \frac{1}{3}$

解题步骤 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

解题步骤 2.5

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

将 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 2.5.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 2.5.3

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 2.5.4

合并和化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 2.5.4.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 2.5.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 2.5.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.5.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.5.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.5.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.4.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.5.4.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 2.5.4.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 代入 $f (x) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + 6$ 以求 $y$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.1

对 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.1.2.1.2

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.2.1

将 ${\sqrt{3}}^{4}$ 重写为 $3^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}}) - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.1.2.1.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}}) - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.1.2.1.2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (\frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}}) - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.1.2.1.2.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.2.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}}) - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.1.2.1.2.1.4.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.2.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}}) - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.1.2.1.2.1.4.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}}) - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.1.2.1.2.1.4.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (\frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}}) - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.1.2.1.2.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (\frac{3^{2}}{3^{4}}) - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.1.2.1.2.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (\frac{9}{3^{4}}) - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.1.2.1.3

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (\frac{9}{81}) - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.1.2.1.4

约去 $9$ 和 $81$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.4.1

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (\frac{9 (1)}{81}) - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.1.2.1.4.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.4.2.1

从 $81$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9}) - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.1.2.1.4.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9}) - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.1.2.1.4.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (\frac{1}{9}) - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.1.2.1.5

组合 $2$ 和 $\frac{1}{9}$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.1.2.1.6

对 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - 4 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 6$

解题步骤 3.1.2.1.7

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - 4 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 6$

解题步骤 3.1.2.1.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - 4 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 6$

解题步骤 3.1.2.1.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - 4 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 6$

解题步骤 3.1.2.1.7.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.7.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - 4 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 6$

解题步骤 3.1.2.1.7.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - 4 \frac{3}{3^{2}} + 6$

解题步骤 3.1.2.1.7.5

计算指数。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - 4 \frac{3}{3^{2}} + 6$

解题步骤 3.1.2.1.8

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - 4 (\frac{3}{9}) + 6$

解题步骤 3.1.2.1.9

约去 $3$ 和 $9$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.9.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - 4 \frac{3 (1)}{9} + 6$

解题步骤 3.1.2.1.9.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.9.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 6$

解题步骤 3.1.2.1.9.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 6$

解题步骤 3.1.2.1.9.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - 4 (\frac{1}{3}) + 6$

解题步骤 3.1.2.1.10

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} + \frac{- 4}{3} + 6$

解题步骤 3.1.2.1.11

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - \frac{4}{3} + 6$

解题步骤 3.1.2.2

求公分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.2.1

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - (\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 6$

解题步骤 3.1.2.2.2

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 3} + 6$

解题步骤 3.1.2.2.3

将 $6$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{6}{1}$

解题步骤 3.1.2.2.4

将 $\frac{6}{1}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{6}{1} \cdot \frac{9}{9}$

解题步骤 3.1.2.2.5

将 $\frac{6}{1}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{6 \cdot 9}{9}$

解题步骤 3.1.2.2.6

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - \frac{4 \cdot 3}{9} + \frac{6 \cdot 9}{9}$

解题步骤 3.1.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2 - 4 \cdot 3 + 6 \cdot 9}{9}$

解题步骤 3.1.2.4

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.4.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2 - 12 + 6 \cdot 9}{9}$

解题步骤 3.1.2.4.2

将 $6$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2 - 12 + 54}{9}$

解题步骤 3.1.2.5

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.5.1

从 $2$ 中减去 $12$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 10 + 54}{9}$

解题步骤 3.1.2.5.2

将 $- 10$ 和 $54$ 相加。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{44}{9}$

解题步骤 3.1.2.6

最终答案为 $\frac{44}{9}$ 。

$\frac{44}{9}$

解题步骤 3.2

通过将 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 代入 $f (x) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + 6$ 中求得的点为 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{44}{9})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{44}{9})$

解题步骤 3.3

将 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 代入 $f (x) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + 6$ 以求 $y$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 4 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.1.1

对 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 ({(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4}) - 4 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.3.2.1.1.2

对 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 ({(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}})) - 4 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.3.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (1 (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}})) - 4 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.3.2.1.3

将 $\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 4 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.3.2.1.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.4.1

将 ${\sqrt{3}}^{4}$ 重写为 $3^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.4.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}}) - 4 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.3.2.1.4.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}}) - 4 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.3.2.1.4.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (\frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}}) - 4 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.3.2.1.4.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.4.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}}) - 4 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.3.2.1.4.1.4.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.4.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}}) - 4 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.3.2.1.4.1.4.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}}) - 4 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.3.2.1.4.1.4.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (\frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}}) - 4 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.3.2.1.4.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (\frac{3^{2}}{3^{4}}) - 4 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.3.2.1.4.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (\frac{9}{3^{4}}) - 4 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.3.2.1.5

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (\frac{9}{81}) - 4 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.3.2.1.6

约去 $9$ 和 $81$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.6.1

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (\frac{9 (1)}{81}) - 4 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.3.2.1.6.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.6.2.1

从 $81$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9}) - 4 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.3.2.1.6.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9}) - 4 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.3.2.1.6.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 (\frac{1}{9}) - 4 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.3.2.1.7

组合 $2$ 和 $\frac{1}{9}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - 4 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 6$

解题步骤 3.3.2.1.8

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.8.1

对 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}) + 6$

解题步骤 3.3.2.1.8.2

对 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 6$

解题步骤 3.3.2.1.9

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - 4 (1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 6$

解题步骤 3.3.2.1.10

将 $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - 4 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 6$

解题步骤 3.3.2.1.11

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.11.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - 4 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 6$

解题步骤 3.3.2.1.11.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - 4 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 6$

解题步骤 3.3.2.1.11.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - 4 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 6$

解题步骤 3.3.2.1.11.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.11.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - 4 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 6$

解题步骤 3.3.2.1.11.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - 4 \frac{3}{3^{2}} + 6$

解题步骤 3.3.2.1.11.5

计算指数。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - 4 \frac{3}{3^{2}} + 6$

解题步骤 3.3.2.1.12

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - 4 (\frac{3}{9}) + 6$

解题步骤 3.3.2.1.13

约去 $3$ 和 $9$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.13.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - 4 \frac{3 (1)}{9} + 6$

解题步骤 3.3.2.1.13.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.13.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 6$

解题步骤 3.3.2.1.13.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 6$

解题步骤 3.3.2.1.13.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - 4 (\frac{1}{3}) + 6$

解题步骤 3.3.2.1.14

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} + \frac{- 4}{3} + 6$

解题步骤 3.3.2.1.15

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - \frac{4}{3} + 6$

解题步骤 3.3.2.2

求公分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.2.1

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - (\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 6$

解题步骤 3.3.2.2.2

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 3} + 6$

解题步骤 3.3.2.2.3

将 $6$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{6}{1}$

解题步骤 3.3.2.2.4

将 $\frac{6}{1}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{6}{1} \cdot \frac{9}{9}$

解题步骤 3.3.2.2.5

将 $\frac{6}{1}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{6 \cdot 9}{9}$

解题步骤 3.3.2.2.6

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9} - \frac{4 \cdot 3}{9} + \frac{6 \cdot 9}{9}$

解题步骤 3.3.2.3

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2 - 4 \cdot 3 + 6 \cdot 9}{9}$

解题步骤 3.3.2.4

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.4.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2 - 12 + 6 \cdot 9}{9}$

解题步骤 3.3.2.4.2

将 $6$ 乘以 $9$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2 - 12 + 54}{9}$

解题步骤 3.3.2.5

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.5.1

从 $2$ 中减去 $12$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 10 + 54}{9}$

解题步骤 3.3.2.5.2

将 $- 10$ 和 $54$ 相加。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{44}{9}$

解题步骤 3.3.2.6

最终答案为 $\frac{44}{9}$ 。

$\frac{44}{9}$

解题步骤 3.4

通过将 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 代入 $f (x) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + 6$ 中求得的点为 $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{44}{9})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{44}{9})$

解题步骤 3.5

确定可能是拐点的点。

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{44}{9}), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{44}{9})$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 0.67735026$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.67735026) = 24 {(- 0.67735026)}^{2} - 8$

解题步骤 5.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

对 $- 0.67735026$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.67735026) = 24 \cdot 0.45880338 - 8$

解题步骤 5.2.1.2

将 $24$ 乘以 $0.45880338$ 。

$f'' (- 0.67735026) = 11.01128129 - 8$

解题步骤 5.2.2

从 $11.01128129$ 中减去 $8$ 。

$f'' (- 0.67735026) = 3.01128129$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $3.01128129$ 。

$3.01128129$

解题步骤 5.3

在 $- 0.67735026$ 处，二阶导数为 $3.01128129$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = 24 {(0)}^{2} - 8$

解题步骤 6.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = 24 \cdot 0 - 8$

解题步骤 6.2.1.2

将 $24$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 - 8$

解题步骤 6.2.2

从 $0$ 中减去 $8$ 。

$f'' (0) = - 8$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 8$ 。

$- 8$

解题步骤 6.3

在 $0$ ，二阶导数为 $- 8$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0.67735026$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.67735026) = 24 {(0.67735026)}^{2} - 8$

解题步骤 7.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1.1

对 $0.67735026$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.67735026) = 24 \cdot 0.45880338 - 8$

解题步骤 7.2.1.2

将 $24$ 乘以 $0.45880338$ 。

$f'' (0.67735026) = 11.01128129 - 8$

解题步骤 7.2.2

从 $11.01128129$ 中减去 $8$ 。

$f'' (0.67735026) = 3.01128129$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $3.01128129$ 。

$3.01128129$

解题步骤 7.3

在 $0.67735026$ 处，二阶导数为 $3.01128129$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{44}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{44}{9})$ .

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{44}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{44}{9})$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例