微积分学示例

$f (x) = x^{4} - 7 x^{3}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 7 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 7 x^{3})$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 7 x^{3})$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 7 \frac{d}{d x} x^{3}$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 7 (3 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 7$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 21 x^{2}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $4 x^{3} - 21 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2})$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2})$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2})$

解题步骤 1.2.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2})$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 21 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $- 21$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 21 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 21 \frac{d}{d x} x^{2}$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 21 (2 x)$

解题步骤 1.2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 21$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 42 x$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $12 x^{2} - 42 x$ 。

$12 x^{2} - 42 x$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $12 x^{2} - 42 x = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$12 x^{2} - 42 x = 0$

解题步骤 2.2

从 $12 x^{2} - 42 x$ 中分解出因数 $6 x$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$6 x (2 x) - 42 x = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $- 42 x$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$6 x (2 x) + 6 x (- 7) = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $6 x (2 x) + 6 x (- 7)$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$6 x (2 x - 7) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$2 x - 7 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $2 x - 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $2 x - 7$ 设为等于 $0$ 。

$2 x - 7 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $2 x - 7 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

在等式两边都加上 $7$ 。

$2 x = 7$

解题步骤 2.5.2.2

将 $2 x = 7$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.5.2.2.1

将 $2 x = 7$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

解题步骤 2.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

解题步骤 2.5.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{7}{2}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $6 x (2 x - 7) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \frac{7}{2}$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $f (x) = x^{4} - 7 x^{3}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{4} - 7 {(0)}^{3}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 7 {(0)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 7 \cdot 0$

解题步骤 3.1.2.1.3

将 $- 7$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 3.1.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 3.1.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = x^{4} - 7 x^{3}$ 中求得的点为 $(0, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 0)$

解题步骤 3.3

将 $\frac{7}{2}$ 代入 $f (x) = x^{4} - 7 x^{3}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $\frac{7}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{7}{2}) = {(\frac{7}{2})}^{4} - 7 {(\frac{7}{2})}^{3}$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

对 $\frac{7}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{7}{2}) = \frac{7^{4}}{2^{4}} - 7 {(\frac{7}{2})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2

对 $7$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{7}{2}) = \frac{2401}{2^{4}} - 7 {(\frac{7}{2})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.3

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - 7 {(\frac{7}{2})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.4

对 $\frac{7}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - 7 \frac{7^{3}}{2^{3}}$

解题步骤 3.3.2.1.5

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - 7 \frac{343}{2^{3}}$

解题步骤 3.3.2.1.6

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - 7 (\frac{343}{8})$

解题步骤 3.3.2.1.7

乘以 $- 7 (\frac{343}{8})$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.7.1

组合 $- 7$ 和 $\frac{343}{8}$ 。

$f (\frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + \frac{- 7 \cdot 343}{8}$

解题步骤 3.3.2.1.7.2

将 $- 7$ 乘以 $343$ 。

$f (\frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + \frac{- 2401}{8}$

解题步骤 3.3.2.1.8

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{8}$

解题步骤 3.3.2.2

要将 $- \frac{2401}{8}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{8} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 3.3.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $16$ 的形式。

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解题步骤 3.3.2.3.1

将 $\frac{2401}{8}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401 \cdot 2}{8 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.3.2

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401 \cdot 2}{16}$

解题步骤 3.3.2.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{7}{2}) = \frac{2401 - 2401 \cdot 2}{16}$

解题步骤 3.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 3.3.2.5.1

将 $- 2401$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{7}{2}) = \frac{2401 - 4802}{16}$

解题步骤 3.3.2.5.2

从 $2401$ 中减去 $4802$ 。

$f (\frac{7}{2}) = \frac{- 2401}{16}$

解题步骤 3.3.2.6

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{2401}{16}$

解题步骤 3.3.2.7

最终答案为 $- \frac{2401}{16}$ 。

$- \frac{2401}{16}$

解题步骤 3.4

通过将 $\frac{7}{2}$ 代入 $f (x) = x^{4} - 7 x^{3}$ 中求得的点为 $(\frac{7}{2}, - \frac{2401}{16})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\frac{7}{2}, - \frac{2401}{16})$

解题步骤 3.5

确定可能是拐点的点。

$(0, 0), (\frac{7}{2}, - \frac{2401}{16})$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{7}{2}) \cup (\frac{7}{2}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.1) = 12 {(- 0.1)}^{2} - 42 \cdot - 0.1$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 0.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.1) = 12 \cdot 0.01 - 42 \cdot - 0.1$

解题步骤 5.2.1.2

将 $12$ 乘以 $0.01$ 。

$f'' (- 0.1) = 0.12 - 42 \cdot - 0.1$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 42$ 乘以 $- 0.1$ 。

$f'' (- 0.1) = 0.12 + 4.2$

解题步骤 5.2.2

将 $0.12$ 和 $4.2$ 相加。

$f'' (- 0.1) = 4.32$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $4.32$ 。

$4.32$

解题步骤 5.3

在 $- 0.1$ 处，二阶导数为 $4.32$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, 0)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, 0)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(0, \frac{7}{2})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $1.75$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (1.75) = 12 {(1.75)}^{2} - 42 \cdot 1.75$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $1.75$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (1.75) = 12 \cdot 3.0625 - 42 \cdot 1.75$

解题步骤 6.2.1.2

将 $12$ 乘以 $3.0625$ 。

$f'' (1.75) = 36.75 - 42 \cdot 1.75$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 42$ 乘以 $1.75$ 。

$f'' (1.75) = 36.75 - 73.5$

解题步骤 6.2.2

从 $36.75$ 中减去 $73.5$ 。

$f'' (1.75) = - 36.75$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 36.75$ 。

$- 36.75$

解题步骤 6.3

在 $1.75$ ，二阶导数为 $- 36.75$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(0, \frac{7}{2})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(0, \frac{7}{2})$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(\frac{7}{2}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $3.6$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (3.6) = 12 {(3.6)}^{2} - 42 \cdot 3.6$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $3.6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (3.6) = 12 \cdot 12.96 - 42 \cdot 3.6$

解题步骤 7.2.1.2

将 $12$ 乘以 $12.96$ 。

$f'' (3.6) = 155.52 - 42 \cdot 3.6$

解题步骤 7.2.1.3

将 $- 42$ 乘以 $3.6$ 。

$f'' (3.6) = 155.52 - 151.2$

解题步骤 7.2.2

从 $155.52$ 中减去 $151.2$ 。

$f'' (3.6) = 4.32$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $4.32$ 。

$4.32$

解题步骤 7.3

在 $3.6$ 处，二阶导数为 $4.32$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(\frac{7}{2}, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\frac{7}{2}, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 0), (\frac{7}{2}, - \frac{2401}{16})$ .

$(0, 0), (\frac{7}{2}, - \frac{2401}{16})$

解题步骤 9

微积分学 示例

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