微积分学示例

$y = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$

解题步骤 1

将 $y = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$

解题步骤 2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $\frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.1

因为 $\frac{1}{8}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{8} x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1}{8} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$\frac{4}{8} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.4

组合 $\frac{4}{8}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{4 x^{3}}{8} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.5

约去 $4$ 和 $8$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.5.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (x^{3})}{8} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.5.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.5.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{x^{3}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{3}}{2} - 3 (2 x)$

解题步骤 2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (x) = \frac{x^{3}}{2} - 6 x$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $\frac{x^{3}}{2} - 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{3}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

解题步骤 2.2.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

解题步骤 2.2.2.4

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

解题步骤 2.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 \cdot 1$

解题步骤 2.2.3.3

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{3 x^{2}}{2} - 6$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{3 x^{2}}{2} - 6$ 。

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{3 x^{2}}{2} - 6 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 = 0$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$\frac{3 x^{2}}{2} = 6$

解题步骤 3.3

等式两边同时乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

解题步骤 3.4

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1.1

化简 $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1.1.1

合并。

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

解题步骤 3.4.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1.1.2.1

约去公因数。

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

解题步骤 3.4.1.1.2.2

重写表达式。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

解题步骤 3.4.1.1.3

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1.1.3.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

解题步骤 3.4.1.1.3.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.1

化简 $\frac{2}{3} \cdot 6$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.1.1

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.1.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 (2))$

解题步骤 3.4.2.1.1.2

约去公因数。

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

解题步骤 3.4.2.1.1.3

重写表达式。

$x^{2} = 2 \cdot 2$

解题步骤 3.4.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x^{2} = 4$

解题步骤 3.5

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{4}$

解题步骤 3.6

化简 $\pm \sqrt{4}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 3.6.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 2$

解题步骤 3.7

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2$

解题步骤 3.7.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2$

解题步骤 3.7.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2, - 2$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $2$ 代入 $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ 以求 $y$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot {(2)}^{4} - 3 {(2)}^{2}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.1

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot 16 - 3 {(2)}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.2

约去 $8$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot (8 (2)) - 3 {(2)}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.2.2

约去公因数。

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot 2) - 3 {(2)}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.2.3

重写表达式。

$f (2) = 2 - 3 {(2)}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2) = 2 - 3 \cdot 4$

解题步骤 4.1.2.1.4

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$f (2) = 2 - 12$

解题步骤 4.1.2.2

从 $2$ 中减去 $12$ 。

$f (2) = - 10$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $- 10$ 。

$- 10$

解题步骤 4.2

通过将 $2$ 代入 $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ 中求得的点为 $(2, - 10)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(2, - 10)$

解题步骤 4.3

将 $- 2$ 代入 $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ 以求 $y$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot {(- 2)}^{4} - 3 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot 16 - 3 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.2

约去 $8$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot (8 (2)) - 3 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.2.2

约去公因数。

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot 2) - 3 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.2.3

重写表达式。

$f (- 2) = 2 - 3 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.3

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 2) = 2 - 3 \cdot 4$

解题步骤 4.3.2.1.4

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$f (- 2) = 2 - 12$

解题步骤 4.3.2.2

从 $2$ 中减去 $12$ 。

$f (- 2) = - 10$

解题步骤 4.3.2.3

最终答案为 $- 10$ 。

$- 10$

解题步骤 4.4

通过将 $- 2$ 代入 $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ 中求得的点为 $(- 2, - 10)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 2, - 10)$

解题步骤 4.5

确定可能是拐点的点。

$(2, - 10), (- 2, - 10)$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 2)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 2.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 2.1) = \frac{3 {(- 2.1)}^{2}}{2} - 6$

解题步骤 6.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1

对 $- 2.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 2.1) = \frac{3 \cdot 4.41}{2} - 6$

解题步骤 6.2.1.2

将 $3$ 乘以 $4.41$ 。

$f'' (- 2.1) = \frac{13.23}{2} - 6$

解题步骤 6.2.1.3

用 $13.23$ 除以 $2$ 。

$f'' (- 2.1) = 6.615 - 6$

解题步骤 6.2.2

从 $6.615$ 中减去 $6$ 。

$f'' (- 2.1) = 0.615$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $0.615$ 。

$0.615$

解题步骤 6.3

在 $- 2.1$ 处，二阶导数为 $0.615$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, - 2)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 2)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(- 2, 2)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = \frac{3 {(0)}^{2}}{2} - 6$

解题步骤 7.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 0}{2} - 6$

解题步骤 7.2.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{0}{2} - 6$

解题步骤 7.2.1.3

用 $0$ 除以 $2$ 。

$f'' (0) = 0 - 6$

解题步骤 7.2.2

从 $0$ 中减去 $6$ 。

$f'' (0) = - 6$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 6$ 。

$- 6$

解题步骤 7.3

在 $0$ ，二阶导数为 $- 6$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- 2, 2)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- 2, 2)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(2, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

使用表达式中的 $2.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2.1) = \frac{3 {(2.1)}^{2}}{2} - 6$

解题步骤 8.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1.1

对 $2.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (2.1) = \frac{3 \cdot 4.41}{2} - 6$

解题步骤 8.2.1.2

将 $3$ 乘以 $4.41$ 。

$f'' (2.1) = \frac{13.23}{2} - 6$

解题步骤 8.2.1.3

用 $13.23$ 除以 $2$ 。

$f'' (2.1) = 6.615 - 6$

解题步骤 8.2.2

从 $6.615$ 中减去 $6$ 。

$f'' (2.1) = 0.615$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $0.615$ 。

$0.615$

解题步骤 8.3

在 $2.1$ 处，二阶导数为 $0.615$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(2, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(2, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(- 2, - 10), (2, - 10)$ 。

$(- 2, - 10), (2, - 10)$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例