微积分学示例

$y = \frac{3}{x^{2} - 9}$

解题步骤 1

将 $y = \frac{3}{x^{2} - 9}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{3}{x^{2} - 9}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.1.1.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{x^{2} - 9}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 9}]$ 。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} - 9})$

解题步骤 2.1.1.2

将 $\frac{1}{x^{2} - 9}$ 重写为 ${(x^{2} - 9)}^{- 1}$ 。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 9)}^{- 1})$

解题步骤 2.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2} - 9$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 9$ 。

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f' (x) = 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

解题步骤 2.1.2.3

使用 $x^{2} - 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = 3 (- {(x^{2} - 9)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

解题步骤 2.1.3

求微分。

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解题步骤 2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = - 3 ({(x^{2} - 9)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

解题步骤 2.1.3.2

根据加法法则， $x^{2} - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$f' (x) = - 3 {(x^{2} - 9)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))$

解题步骤 2.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = - 3 {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))$

解题步骤 2.1.3.4

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = - 3 {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x + 0)$

解题步骤 2.1.3.5

化简表达式。

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解题步骤 2.1.3.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - 3 {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x)$

解题步骤 2.1.3.5.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 9)}^{- 2} x$

解题步骤 2.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (x) = - 6 \frac{1}{{(x^{2} - 9)}^{2}} \cdot x$

解题步骤 2.1.5

合并项。

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解题步骤 2.1.5.1

组合 $- 6$ 和 $\frac{1}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{- 6}{{(x^{2} - 9)}^{2}} \cdot x$

解题步骤 2.1.5.2

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} - 9)}^{2}} \cdot x$

解题步骤 2.1.5.3

组合 $x$ 和 $\frac{6}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ 。

$f' (x) = - \frac{x \cdot 6}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 2.1.5.4

将 $6$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = - \frac{6 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{6 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}]$ 。

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} - 9)}^{2}$ 。

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.2.3.1

将 ${({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 2.2.3.3

将 ${(x^{2} - 9)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} - 9$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 9$ 。

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4.3

使用 $x^{2} - 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (2 (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.2.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.2

从 ${(x^{2} - 9)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ 中分解出因数 $x^{2} - 9$ 。

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解题步骤 2.2.5.2.1

从 ${(x^{2} - 9)}^{2}$ 中分解出因数 $x^{2} - 9$ 。

$f'' (x) = - 6 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.2.2

从 $- 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ 中分解出因数 $x^{2} - 9$ 。

$f'' (x) = - 6 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) + (x^{2} - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.2.3

从 $(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) + (x^{2} - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))$ 中分解出因数 $x^{2} - 9$ 。

$f'' (x) = - 6 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 2.2.6

约去公因数。

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解题步骤 2.2.6.1

从 ${(x^{2} - 9)}^{4}$ 中分解出因数 $x^{2} - 9$ 。

$f'' (x) = - 6 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

解题步骤 2.2.6.2

约去公因数。

$f'' (x) = - 6 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

解题步骤 2.2.6.3

重写表达式。

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

解题步骤 2.2.7

根据加法法则， $x^{2} - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

解题步骤 2.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

解题步骤 2.2.9

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

解题步骤 2.2.10

化简表达式。

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解题步骤 2.2.10.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

解题步骤 2.2.10.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

解题步骤 2.2.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

解题步骤 2.2.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

解题步骤 2.2.14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

解题步骤 2.2.15

从 $x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$f'' (x) = - 6 \frac{- 3 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

解题步骤 2.2.16

组合 $- 6$ 和 $\frac{- 3 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 6 (- 3 x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

解题步骤 2.2.17

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{(6) (- 3 x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

解题步骤 2.2.18

化简。

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解题步骤 2.2.18.1

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

解题步骤 2.2.18.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.18.2.1

将 $- 3$ 乘以 $6$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 18 x^{2} + 6 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

解题步骤 2.2.18.2.2

将 $6$ 乘以 $- 9$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 18 x^{2} - 54}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- \frac{- 18 x^{2} - 54}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ 。

$- \frac{- 18 x^{2} - 54}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{- 18 x^{2} - 54}{{(x^{2} - 9)}^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{- 18 x^{2} - 54}{{(x^{2} - 9)}^{3}} = 0$

解题步骤 3.2

将分子设为等于零。

$- 18 x^{2} - 54 = 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 3.3.1

在等式两边都加上 $54$ 。

$- 18 x^{2} = 54$

解题步骤 3.3.2

将 $- 18 x^{2} = 54$ 中的每一项除以 $- 18$ 并化简。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $- 18 x^{2} = 54$ 中的每一项都除以 $- 18$ 。

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{54}{- 18}$

解题步骤 3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.2.1

约去 $- 18$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{54}{- 18}$

解题步骤 3.3.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{54}{- 18}$

解题步骤 3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.3.1

用 $54$ 除以 $- 18$ 。

$x^{2} = - 3$

解题步骤 3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

解题步骤 3.3.4

化简 $\pm \sqrt{- 3}$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

解题步骤 3.3.4.2

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.4.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

解题步骤 4

找不到使二阶导数等于 $0$ 的值。

不存在拐点

微积分学 示例

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