微积分学示例

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

解题步骤 1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2} - 12 (2 x)$

解题步骤 1.1.4.3

将 $2$ 乘以 $- 12$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

解题步骤 1.2.2.3

将 $3$ 乘以 $12$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

解题步骤 1.2.3.3

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

解题步骤 1.2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

因为 $- 24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 24 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 24 \frac{d}{d x} x$

解题步骤 1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 24 \cdot 1$

解题步骤 1.2.4.3

将 $- 24$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 24$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $36 x^{2} + 24 x - 24$ 。

$36 x^{2} + 24 x - 24$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $36 x^{2} + 24 x - 24 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$36 x^{2} + 24 x - 24 = 0$

解题步骤 2.2

从 $36 x^{2} + 24 x - 24$ 中分解出因数 $12$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $36 x^{2}$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (3 x^{2}) + 24 x - 24 = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $24 x$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (3 x^{2}) + 12 (2 x) - 24 = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $- 24$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (3 x^{2}) + 12 (2 x) + 12 (- 2) = 0$

解题步骤 2.2.4

从 $12 (3 x^{2}) + 12 (2 x)$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (3 x^{2} + 2 x) + 12 (- 2) = 0$

解题步骤 2.2.5

从 $12 (3 x^{2} + 2 x) + 12 (- 2)$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (3 x^{2} + 2 x - 2) = 0$

解题步骤 2.3

将 $12 (3 x^{2} + 2 x - 2) = 0$ 中的每一项除以 $12$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $12 (3 x^{2} + 2 x - 2) = 0$ 中的每一项都除以 $12$ 。

$\frac{12 (3 x^{2} + 2 x - 2)}{12} = \frac{0}{12}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{12 (3 x^{2} + 2 x - 2)}{12} = \frac{0}{12}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $3 x^{2} + 2 x - 2$ 除以 $1$ 。

$3 x^{2} + 2 x - 2 = \frac{0}{12}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

用 $0$ 除以 $12$ 。

$3 x^{2} + 2 x - 2 = 0$

解题步骤 2.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.5

将 $a = 3$ 、 $b = 2$ 和 $c = - 2$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 2)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

化简分子。

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解题步骤 2.6.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 2.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.3

将 $4$ 和 $24$ 相加。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.4

将 $28$ 重写为 $2^{2} \cdot 7$ 。

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解题步骤 2.6.1.4.1

从 $28$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

解题步骤 2.6.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 2.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.7.1

化简分子。

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解题步骤 2.7.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 2.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.3

将 $4$ 和 $24$ 相加。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.4

将 $28$ 重写为 $2^{2} \cdot 7$ 。

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解题步骤 2.7.1.4.1

从 $28$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

解题步骤 2.7.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 2.7.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 1 + \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 2.7.5

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 2.7.6

从 $\sqrt{7}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{7})}{3}$

解题步骤 2.7.7

从 $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{7})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{7})}{3}$

解题步骤 2.7.8

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 - \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 2.8

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.8.1

化简分子。

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解题步骤 2.8.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 2.8.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.3

将 $4$ 和 $24$ 相加。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.4

将 $28$ 重写为 $2^{2} \cdot 7$ 。

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解题步骤 2.8.1.4.1

从 $28$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.8.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

解题步骤 2.8.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 2.8.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 1 - \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 2.8.5

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 2.8.6

从 $- \sqrt{7}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{7})}{3}$

解题步骤 2.8.7

从 $- 1 (1) - (\sqrt{7})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{7})}{3}$

解题步骤 2.8.8

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 + \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 2.9

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1 - \sqrt{7}}{3}, - \frac{1 + \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $0.54858377$ 代入 $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $0.54858377$ 替换变量 $x$ 。

$f (0.54858377) = 3 {(0.54858377)}^{4} + 4 {(0.54858377)}^{3} - 12 {(0.54858377)}^{2}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $0.54858377$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (0.54858377) = 3 \cdot 0.09056738 + 4 {(0.54858377)}^{3} - 12 {(0.54858377)}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.2

将 $3$ 乘以 $0.09056738$ 。

$f (0.54858377) = 0.27170214 + 4 {(0.54858377)}^{3} - 12 {(0.54858377)}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.3

对 $0.54858377$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (0.54858377) = 0.27170214 + 4 \cdot 0.16509307 - 12 {(0.54858377)}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.4

将 $4$ 乘以 $0.16509307$ 。

$f (0.54858377) = 0.27170214 + 0.66037231 - 12 {(0.54858377)}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.5

对 $0.54858377$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (0.54858377) = 0.27170214 + 0.66037231 - 12 \cdot 0.30094415$

解题步骤 3.1.2.1.6

将 $- 12$ 乘以 $0.30094415$ 。

$f (0.54858377) = 0.27170214 + 0.66037231 - 3.61132983$

解题步骤 3.1.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 3.1.2.2.1

将 $0.27170214$ 和 $0.66037231$ 相加。

$f (0.54858377) = 0.93207446 - 3.61132983$

解题步骤 3.1.2.2.2

从 $0.93207446$ 中减去 $3.61132983$ 。

$f (0.54858377) = - 2.67925537$

解题步骤 3.1.2.3

最终答案为 $- 2.67925537$ 。

$- 2.67925537$

解题步骤 3.2

通过将 $0.54858377$ 代入 $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$ 中求得的点为 $(0.54858377, - 2.67925537)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0.54858377, - 2.67925537)$

解题步骤 3.3

将 $- 1.21525043$ 代入 $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $- 1.21525043$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1.21525043) = 3 {(- 1.21525043)}^{4} + 4 {(- 1.21525043)}^{3} - 12 {(- 1.21525043)}^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

对 $- 1.21525043$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- 1.21525043) = 3 \cdot 2.18103755 + 4 {(- 1.21525043)}^{3} - 12 {(- 1.21525043)}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2

将 $3$ 乘以 $2.18103755$ 。

$f (- 1.21525043) = 6.54311266 + 4 {(- 1.21525043)}^{3} - 12 {(- 1.21525043)}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3

对 $- 1.21525043$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 1.21525043) = 6.54311266 + 4 \cdot - 1.7947227 - 12 {(- 1.21525043)}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.4

将 $4$ 乘以 $- 1.7947227$ 。

$f (- 1.21525043) = 6.54311266 - 7.17889083 - 12 {(- 1.21525043)}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.5

对 $- 1.21525043$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 1.21525043) = 6.54311266 - 7.17889083 - 12 \cdot 1.47683362$

解题步骤 3.3.2.1.6

将 $- 12$ 乘以 $1.47683362$ 。

$f (- 1.21525043) = 6.54311266 - 7.17889083 - 17.72200349$

解题步骤 3.3.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 3.3.2.2.1

从 $6.54311266$ 中减去 $7.17889083$ 。

$f (- 1.21525043) = - 0.63577816 - 17.72200349$

解题步骤 3.3.2.2.2

从 $- 0.63577816$ 中减去 $17.72200349$ 。

$f (- 1.21525043) = - 18.35778166$

解题步骤 3.3.2.3

最终答案为 $- 18.35778166$ 。

$- 18.35778166$

解题步骤 3.4

通过将 $- 1.21525043$ 代入 $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$ 中求得的点为 $(- 1.21525043, - 18.35778166)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 1.21525043, - 18.35778166)$

解题步骤 3.5

确定可能是拐点的点。

$(0.54858377, - 2.67925537), (- 1.21525043, - 18.35778166)$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 1.21525043) \cup (- 1.21525043, 0.54858377) \cup (0.54858377, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 1.21525043)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 1.31525043$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 1.31525043) = 36 {(- 1.31525043)}^{2} + 24 (- 1.31525043) - 24$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 1.31525043$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 1.31525043) = 36 \cdot 1.72988371 + 24 (- 1.31525043) - 24$

解题步骤 5.2.1.2

将 $36$ 乘以 $1.72988371$ 。

$f'' (- 1.31525043) = 62.27581363 + 24 (- 1.31525043) - 24$

解题步骤 5.2.1.3

将 $24$ 乘以 $- 1.31525043$ 。

$f'' (- 1.31525043) = 62.27581363 - 31.56601048 - 24$

解题步骤 5.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $62.27581363$ 中减去 $31.56601048$ 。

$f'' (- 1.31525043) = 30.70980314 - 24$

解题步骤 5.2.2.2

从 $30.70980314$ 中减去 $24$ 。

$f'' (- 1.31525043) = 6.70980314$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $6.70980314$ 。

$6.70980314$

解题步骤 5.3

在 $- 1.31525043$ 处，二阶导数为 $6.70980314$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, - 1.21525043)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 1.21525043)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(- 1.21525043, 0.54858377)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 0.\overline{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.\overline{3}) = 36 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 24 (- 0.\overline{3}) - 24$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 0.\overline{3}$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.\overline{3}) = 36 \cdot 0.\overline{1} + 24 (- 0.\overline{3}) - 24$

解题步骤 6.2.1.2

将 $36$ 乘以 $0.\overline{1}$ 。

$f'' (- 0.\overline{3}) = 4 + 24 (- 0.\overline{3}) - 24$

解题步骤 6.2.1.3

将 $24$ 乘以 $- 0.\overline{3}$ 。

$f'' (- 0.\overline{3}) = 4 - 8 - 24$

解题步骤 6.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$f'' (- 0.\overline{3}) = - 4 - 24$

解题步骤 6.2.2.2

从 $- 4$ 中减去 $24$ 。

$f'' (- 0.\overline{3}) = - 28$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 28$ 。

$- 28$

解题步骤 6.3

在 $- 0.\overline{3}$ ，二阶导数为 $- 28$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- 1.21525043, 0.54858377)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- 1.21525043, 0.54858377)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(0.54858377, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0.64858377$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.64858377) = 36 {(0.64858377)}^{2} + 24 (0.64858377) - 24$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $0.64858377$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.64858377) = 36 \cdot 0.4206609 + 24 (0.64858377) - 24$

解题步骤 7.2.1.2

将 $36$ 乘以 $0.4206609$ 。

$f'' (0.64858377) = 15.14379265 + 24 (0.64858377) - 24$

解题步骤 7.2.1.3

将 $24$ 乘以 $0.64858377$ 。

$f'' (0.64858377) = 15.14379265 + 15.56601048 - 24$

解题步骤 7.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $15.14379265$ 和 $15.56601048$ 相加。

$f'' (0.64858377) = 30.70980314 - 24$

解题步骤 7.2.2.2

从 $30.70980314$ 中减去 $24$ 。

$f'' (0.64858377) = 6.70980314$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $6.70980314$ 。

$6.70980314$

解题步骤 7.3

在 $0.64858377$ 处，二阶导数为 $6.70980314$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(0.54858377, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0.54858377, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1.21525043, - 18.35778166), (0.54858377, - 2.67925537)$ .

$(- 1.21525043, - 18.35778166), (0.54858377, - 2.67925537)$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例