微积分学示例

$f (x) = (x^{2}) (9 \sqrt{x} + 5)$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} (9 x^{\frac{1}{2}} + 5)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} + 5$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}} + 5] + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $9 x^{\frac{1}{2}} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$x^{2} (9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$x^{2} (9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 8.3

组合 $9$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$x^{2} (\frac{9 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 8.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$x^{2} (\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 9

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{2} (\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 10

合并分数。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 10.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x^{2} \cdot 9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 10.3

化简表达式。

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解题步骤 10.3.1

将 $9$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{9 \cdot x^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 10.3.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{9 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 11

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 11.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{9 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 11.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{9 x^{- \frac{1}{2} + 2}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 11.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{9 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 11.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{9 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 11.5

在公分母上合并分子。

$\frac{9 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 11.6

化简分子。

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解题步骤 11.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{9 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 11.6.2

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) (2 x)$

解题步骤 13

将 $2$ 移到 $9 x^{\frac{1}{2}} + 5$ 的左侧。

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 \cdot (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) x$

解题步骤 14

用公分母合并 $\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 和 $2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) x$ 。

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解题步骤 14.1

移动 $9 x^{\frac{1}{2}} + 5$ 。

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5)$

解题步骤 14.2

要将 $2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 14.3

组合 $2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \cdot 2}{2}$

解题步骤 14.4

在公分母上合并分子。

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \cdot 2}{2}$

解题步骤 15

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5)}{2}$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

运用分配律。

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 x (9 x^{\frac{1}{2}}) + 4 x \cdot 5}{2}$

解题步骤 16.2

化简分子。

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解题步骤 16.2.1

化简每一项。

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解题步骤 16.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 4 x \cdot 5}{2}$

解题步骤 16.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 16.2.1.2.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 (x^{\frac{1}{2}} x) + 4 x \cdot 5}{2}$

解题步骤 16.2.1.2.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 16.2.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 4 x \cdot 5}{2}$

解题步骤 16.2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 x^{\frac{1}{2} + 1} + 4 x \cdot 5}{2}$

解题步骤 16.2.1.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 4 x \cdot 5}{2}$

解题步骤 16.2.1.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 4 x \cdot 5}{2}$

解题步骤 16.2.1.2.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 x^{\frac{3}{2}} + 4 x \cdot 5}{2}$

解题步骤 16.2.1.3

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 36 x^{\frac{3}{2}} + 4 x \cdot 5}{2}$

解题步骤 16.2.1.4

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 36 x^{\frac{3}{2}} + 20 x}{2}$

解题步骤 16.2.2

将 $9 x^{\frac{3}{2}}$ 和 $36 x^{\frac{3}{2}}$ 相加。

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}} + 20 x}{2}$

解题步骤 16.3

重新排序项。

$\frac{20 x + 45 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

解题步骤 16.4

从 $20 x + 45 x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $5 x$ 。

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解题步骤 16.4.1

从 $20 x$ 中分解出因数 $5 x$ 。

$\frac{5 x (4) + 45 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

解题步骤 16.4.2

从 $45 x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $5 x$ 。

$\frac{5 x (4) + 5 x (9 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

解题步骤 16.4.3

从 $5 x (4) + 5 x (9 x^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $5 x$ 。

$\frac{5 x (4 + 9 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

微积分学 示例

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