微积分学示例

${(\frac{t^{3}}{t^{6} + 3})}^{2}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = \frac{t^{3}}{t^{6} + 3}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \frac{t^{3}}{t^{6} + 3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}]$

解题步骤 2

组合 $2$ 和 $\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}$ 。

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}]$

解题步骤 3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = t^{3}$ 且 $g (t) = t^{6} + 3$ 。

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{(t^{6} + 3) \frac{d}{d t} [t^{3}] - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{6} + 3]}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{(t^{6} + 3) (3 t^{2}) - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{6} + 3]}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $3$ 移到 $t^{6} + 3$ 的左侧。

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 \cdot (t^{6} + 3) t^{2} - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{6} + 3]}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.3

根据加法法则， $t^{6} + 3$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [3]$ 。

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - t^{3} (\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - t^{3} (6 t^{5} + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.5

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - t^{3} (6 t^{5} + 0)}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.6

化简表达式。

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解题步骤 4.6.1

将 $6 t^{5}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - t^{3} (6 t^{5})}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.6.2

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{3} t^{5}}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

解题步骤 5

通过指数相加将 $t^{3}$ 乘以 $t^{5}$ 。

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解题步骤 5.1

移动 $t^{5}$ 。

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 (t^{5} t^{3})}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{5 + 3}}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.3

将 $5$ 和 $3$ 相加。

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8}}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

解题步骤 6

将 $\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3}$ 乘以 $\frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8}}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$ 。

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8})}{(t^{6} + 3) {(t^{6} + 3)}^{2}}$

解题步骤 7

通过指数相加将 $t^{6} + 3$ 乘以 ${(t^{6} + 3)}^{2}$ 。

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解题步骤 7.1

将 $t^{6} + 3$ 乘以 ${(t^{6} + 3)}^{2}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $t^{6} + 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{1} {(t^{6} + 3)}^{2}}$

解题步骤 7.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{1 + 2}}$

解题步骤 7.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{2 t^{3} ((3 t^{6} + 3 \cdot 3) t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$\frac{2 t^{3} (3 t^{6} t^{2} + 3 \cdot 3 t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.3

运用分配律。

$\frac{2 t^{3} (3 t^{6} t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.4

化简分子。

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解题步骤 8.4.1

化简每一项。

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解题步骤 8.4.1.1

通过指数相加将 $t^{3}$ 乘以 $t^{6}$ 。

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解题步骤 8.4.1.1.1

移动 $t^{6}$ 。

$\frac{2 (t^{6} t^{3}) (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.4.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 t^{6 + 3} (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.4.1.1.3

将 $6$ 和 $3$ 相加。

$\frac{2 t^{9} (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.4.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 \cdot 3 t^{9} t^{2} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.4.1.3

通过指数相加将 $t^{9}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 8.4.1.3.1

移动 $t^{2}$ 。

$\frac{2 \cdot 3 (t^{2} t^{9}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.4.1.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \cdot 3 t^{2 + 9} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.4.1.3.3

将 $2$ 和 $9$ 相加。

$\frac{2 \cdot 3 t^{11} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.4.1.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 t^{11} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.4.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{6 t^{11} + 2 \cdot 3 \cdot 3 t^{3} t^{2} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.4.1.6

通过指数相加将 $t^{3}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 8.4.1.6.1

移动 $t^{2}$ 。

$\frac{6 t^{11} + 2 \cdot 3 \cdot 3 (t^{2} t^{3}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.4.1.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{6 t^{11} + 2 \cdot 3 \cdot 3 t^{2 + 3} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.4.1.6.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{6 t^{11} + 2 \cdot 3 \cdot 3 t^{5} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.4.1.7

乘以 $2 \cdot 3 \cdot 3$ 。

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解题步骤 8.4.1.7.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 t^{11} + 6 \cdot 3 t^{5} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.4.1.7.2

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.4.1.8

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 6 t^{3} t^{8}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.4.1.9

通过指数相加将 $t^{3}$ 乘以 $t^{8}$ 。

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解题步骤 8.4.1.9.1

移动 $t^{8}$ 。

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 6 (t^{8} t^{3})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.4.1.9.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 6 t^{8 + 3}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.4.1.9.3

将 $8$ 和 $3$ 相加。

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 6 t^{11}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.4.1.10

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} - 12 t^{11}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.4.2

从 $6 t^{11}$ 中减去 $12 t^{11}$ 。

$\frac{- 6 t^{11} + 18 t^{5}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.5

从 $- 6 t^{11} + 18 t^{5}$ 中分解出因数 $6 t^{5}$ 。

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解题步骤 8.5.1

从 $- 6 t^{11}$ 中分解出因数 $6 t^{5}$ 。

$\frac{6 t^{5} (- t^{6}) + 18 t^{5}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.5.2

从 $18 t^{5}$ 中分解出因数 $6 t^{5}$ 。

$\frac{6 t^{5} (- t^{6}) + 6 t^{5} (3)}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.5.3

从 $6 t^{5} (- t^{6}) + 6 t^{5} (3)$ 中分解出因数 $6 t^{5}$ 。

$\frac{6 t^{5} (- t^{6} + 3)}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.6

从 $- t^{6}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{6 t^{5} (- (t^{6}) + 3)}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.7

将 $3$ 重写为 $- 1 (- 3)$ 。

$\frac{6 t^{5} (- (t^{6}) - 1 (- 3))}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.8

从 $- (t^{6}) - 1 (- 3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{6 t^{5} (- (t^{6} - 3))}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.9

将 $- (t^{6} - 3)$ 重写为 $- 1 (t^{6} - 3)$ 。

$\frac{6 t^{5} (- 1 (t^{6} - 3))}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(6 t^{5}) (t^{6} - 3)}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

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