微积分学示例

$f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{4} + 1$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $3 x^{5} - 10 x^{4} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 10 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$15 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$15 x^{4} - 10 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $4$ 乘以 $- 10$ 。

$15 x^{4} - 40 x^{3} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$15 x^{4} - 40 x^{3} + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $15 x^{4} - 40 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 15 x^{4} - 40 x^{3}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $15 x^{4} - 40 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.3

将 $4$ 乘以 $15$ 。

$60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $- 40$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 40 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$60 x^{3} - 40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$60 x^{3} - 40 (3 x^{2})$

解题步骤 1.2.3.3

将 $3$ 乘以 $- 40$ 。

$f'' (x) = 60 x^{3} - 120 x^{2}$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $60 x^{3} - 120 x^{2}$ 。

$60 x^{3} - 120 x^{2}$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $60 x^{3} - 120 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$60 x^{3} - 120 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2

从 $60 x^{3} - 120 x^{2}$ 中分解出因数 $60 x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $60 x^{3}$ 中分解出因数 $60 x^{2}$ 。

$60 x^{2} (x) - 120 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $- 120 x^{2}$ 中分解出因数 $60 x^{2}$ 。

$60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (- 2) = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (- 2)$ 中分解出因数 $60 x^{2}$ 。

$60 x^{2} (x - 2) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 2.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 2.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.5.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 2.6

最终解为使 $60 x^{2} (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 2$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{4} + 1$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = 3 {(0)}^{5} - 10 {(0)}^{4} + 1$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 3 \cdot 0 - 10 {(0)}^{4} + 1$

解题步骤 3.1.2.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 - 10 {(0)}^{4} + 1$

解题步骤 3.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 10 \cdot 0 + 1$

解题步骤 3.1.2.1.4

将 $- 10$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 1$

解题步骤 3.1.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 3.1.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 1$

解题步骤 3.1.2.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (0) = 1$

解题步骤 3.1.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 3.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{4} + 1$ 中求得的点为 $(0, 1)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 1)$

解题步骤 3.3

将 $2$ 代入 $f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{4} + 1$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = 3 {(2)}^{5} - 10 {(2)}^{4} + 1$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (2) = 3 \cdot 32 - 10 {(2)}^{4} + 1$

解题步骤 3.3.2.1.2

将 $3$ 乘以 $32$ 。

$f (2) = 96 - 10 {(2)}^{4} + 1$

解题步骤 3.3.2.1.3

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (2) = 96 - 10 \cdot 16 + 1$

解题步骤 3.3.2.1.4

将 $- 10$ 乘以 $16$ 。

$f (2) = 96 - 160 + 1$

解题步骤 3.3.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 3.3.2.2.1

从 $96$ 中减去 $160$ 。

$f (2) = - 64 + 1$

解题步骤 3.3.2.2.2

将 $- 64$ 和 $1$ 相加。

$f (2) = - 63$

解题步骤 3.3.2.3

最终答案为 $- 63$ 。

$- 63$

解题步骤 3.4

通过将 $2$ 代入 $f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{4} + 1$ 中求得的点为 $(2, - 63)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(2, - 63)$

解题步骤 3.5

确定可能是拐点的点。

$(0, 1), (2, - 63)$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.1) = 60 {(- 0.1)}^{3} - 120 {(- 0.1)}^{2}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 0.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 0.1) = 60 \cdot - 0.001 - 120 {(- 0.1)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $60$ 乘以 $- 0.001$ 。

$f'' (- 0.1) = - 0.06 - 120 {(- 0.1)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3

对 $- 0.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.1) = - 0.06 - 120 \cdot 0.01$

解题步骤 5.2.1.4

将 $- 120$ 乘以 $0.01$ 。

$f'' (- 0.1) = - 0.06 - 1.2$

解题步骤 5.2.2

从 $- 0.06$ 中减去 $1.2$ 。

$f'' (- 0.1) = - 1.26$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 1.26$ 。

$- 1.26$

解题步骤 5.3

在 $- 0.1$ ，二阶导数为 $- 1.26$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, 0)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 0)$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(0, 2)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (1) = 60 {(1)}^{3} - 120 {(1)}^{2}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f'' (1) = 60 \cdot 1 - 120 {(1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $60$ 乘以 $1$ 。

$f'' (1) = 60 - 120 {(1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$f'' (1) = 60 - 120 \cdot 1$

解题步骤 6.2.1.4

将 $- 120$ 乘以 $1$ 。

$f'' (1) = 60 - 120$

解题步骤 6.2.2

从 $60$ 中减去 $120$ 。

$f'' (1) = - 60$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 60$ 。

$- 60$

解题步骤 6.3

在 $1$ ，二阶导数为 $- 60$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(0, 2)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(0, 2)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(2, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $2.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2.1) = 60 {(2.1)}^{3} - 120 {(2.1)}^{2}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $2.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (2.1) = 60 \cdot 9.261 - 120 {(2.1)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $60$ 乘以 $9.261$ 。

$f'' (2.1) = 555.66 - 120 {(2.1)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.3

对 $2.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (2.1) = 555.66 - 120 \cdot 4.41$

解题步骤 7.2.1.4

将 $- 120$ 乘以 $4.41$ 。

$f'' (2.1) = 555.66 - 529.2$

解题步骤 7.2.2

从 $555.66$ 中减去 $529.2$ 。

$f'' (2.1) = 26.46$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $26.46$ 。

$26.46$

解题步骤 7.3

在 $2.1$ 处，二阶导数为 $26.46$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(2, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(2, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(2, - 63)$ 。

$(2, - 63)$

解题步骤 9

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