微积分学示例

$f (z) = (9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (3 z^{3} - z)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ 等于 $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ，其中 $f (z) = 9 z^{4} + 3 z^{2} + 1$ 且 $g (z) = 3 z^{3} - z$ 。

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [3 z^{3} - z] + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 z^{3} - z$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{d}{d z} [3 z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z]$ 。

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (\frac{d}{d z} [3 z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z]) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

解题步骤 2.2

因为 $3$ 对于 $z$ 是常数，所以 $3 z^{3}$ 对 $z$ 的导数是 $3 \frac{d}{d z} [z^{3}]$ 。

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (3 \frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z]) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (3 (3 z^{2}) + \frac{d}{d z} [- z]) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

解题步骤 2.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} + \frac{d}{d z} [- z]) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

解题步骤 2.5

因为 $- 1$ 对于 $z$ 是常数，所以 $- z$ 对 $z$ 的导数是 $- \frac{d}{d z} [z]$ 。

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - \frac{d}{d z} [z]) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1 \cdot 1) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

解题步骤 2.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

解题步骤 2.8

根据加法法则， $9 z^{4} + 3 z^{2} + 1$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{d}{d z} [9 z^{4}] + \frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ 。

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (\frac{d}{d z} [9 z^{4}] + \frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

解题步骤 2.9

因为 $9$ 对于 $z$ 是常数，所以 $9 z^{4}$ 对 $z$ 的导数是 $9 \frac{d}{d z} [z^{4}]$ 。

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (9 \frac{d}{d z} [z^{4}] + \frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

解题步骤 2.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (9 (4 z^{3}) + \frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

解题步骤 2.11

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + \frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

解题步骤 2.12

因为 $3$ 对于 $z$ 是常数，所以 $3 z^{2}$ 对 $z$ 的导数是 $3 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ 。

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 3 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

解题步骤 2.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 3 (2 z) + \frac{d}{d z} [1])$

解题步骤 2.14

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z + \frac{d}{d z} [1])$

解题步骤 2.15

因为 $1$ 对于 $z$ 是常数，所以 $1$ 对 $z$ 的导数为 $0$ 。

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z + 0)$

解题步骤 2.16

将 $36 z^{3} + 6 z$ 和 $0$ 相加。

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

从 $(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z)$ 中分解出因数 $1$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1)$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1)) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z)$

解题步骤 3.1.2

从 $(3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z)$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1)) + 1 ((3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z))$

解题步骤 3.1.3

从 $1 ((9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1)) + 1 ((3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z))$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z))$

解题步骤 3.2

将 $(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z)$ 乘以 $1$ 。

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z)$

解题步骤 3.3

重新排序项。

$(9 z^{2} - 1) (9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

解题步骤 3.4

化简每一项。

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解题步骤 3.4.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(9 z^{2} - 1) (9 z^{4} + 3 z^{2} + 1)$ 。

$9 z^{2} (9 z^{4}) + 9 z^{2} (3 z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

解题步骤 3.4.2

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$9 \cdot 9 z^{2} z^{4} + 9 z^{2} (3 z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

解题步骤 3.4.2.2

通过指数相加将 $z^{2}$ 乘以 $z^{4}$ 。

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解题步骤 3.4.2.2.1

移动 $z^{4}$ 。

$9 \cdot 9 (z^{4} z^{2}) + 9 z^{2} (3 z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

解题步骤 3.4.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$9 \cdot 9 z^{4 + 2} + 9 z^{2} (3 z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

解题步骤 3.4.2.2.3

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$9 \cdot 9 z^{6} + 9 z^{2} (3 z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

解题步骤 3.4.2.3

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$81 z^{6} + 9 z^{2} (3 z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

解题步骤 3.4.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$81 z^{6} + 9 \cdot 3 z^{2} z^{2} + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

解题步骤 3.4.2.5

通过指数相加将 $z^{2}$ 乘以 $z^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.2.5.1

移动 $z^{2}$ 。

$81 z^{6} + 9 \cdot 3 (z^{2} z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

解题步骤 3.4.2.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$81 z^{6} + 9 \cdot 3 z^{2 + 2} + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

解题步骤 3.4.2.5.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$81 z^{6} + 9 \cdot 3 z^{4} + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

解题步骤 3.4.2.6

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$81 z^{6} + 27 z^{4} + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

解题步骤 3.4.2.7

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$81 z^{6} + 27 z^{4} + 9 z^{2} - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

解题步骤 3.4.2.8

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$81 z^{6} + 27 z^{4} + 9 z^{2} - 9 z^{4} - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

解题步骤 3.4.2.9

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$81 z^{6} + 27 z^{4} + 9 z^{2} - 9 z^{4} - 3 z^{2} - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

解题步骤 3.4.2.10

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$81 z^{6} + 27 z^{4} + 9 z^{2} - 9 z^{4} - 3 z^{2} - 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

解题步骤 3.4.3

从 $27 z^{4}$ 中减去 $9 z^{4}$ 。

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 9 z^{2} - 3 z^{2} - 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

解题步骤 3.4.4

从 $9 z^{2}$ 中减去 $3 z^{2}$ 。

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

解题步骤 3.4.5

使用 FOIL 方法展开 $(36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$ 。

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解题步骤 3.4.5.1

运用分配律。

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 z^{3} (3 z^{3} - z) + 6 z (3 z^{3} - z)$

解题步骤 3.4.5.2

运用分配律。

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 z^{3} (3 z^{3}) + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3} - z)$

解题步骤 3.4.5.3

运用分配律。

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 z^{3} (3 z^{3}) + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

解题步骤 3.4.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.4.6.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.6.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 \cdot 3 z^{3} z^{3} + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

解题步骤 3.4.6.1.2

通过指数相加将 $z^{3}$ 乘以 $z^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.6.1.2.1

移动 $z^{3}$ 。

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 \cdot 3 (z^{3} z^{3}) + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

解题步骤 3.4.6.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 \cdot 3 z^{3 + 3} + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

解题步骤 3.4.6.1.2.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 \cdot 3 z^{6} + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

解题步骤 3.4.6.1.3

将 $36$ 乘以 $3$ 。

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

解题步骤 3.4.6.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 36 \cdot - 1 z^{3} z + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

解题步骤 3.4.6.1.5

通过指数相加将 $z^{3}$ 乘以 $z$ 。

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解题步骤 3.4.6.1.5.1

移动 $z$ 。

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 36 \cdot - 1 (z \cdot z^{3}) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

解题步骤 3.4.6.1.5.2

将 $z$ 乘以 $z^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.6.1.5.2.1

对 $z$ 进行 $1$ 次方运算。

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 36 \cdot - 1 (z^{1} z^{3}) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

解题步骤 3.4.6.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 36 \cdot - 1 z^{1 + 3} + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

解题步骤 3.4.6.1.5.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 36 \cdot - 1 z^{4} + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

解题步骤 3.4.6.1.6

将 $36$ 乘以 $- 1$ 。

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

解题步骤 3.4.6.1.7

使用乘法的交换性质重写。

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 6 \cdot 3 z \cdot z^{3} + 6 z (- z)$

解题步骤 3.4.6.1.8

通过指数相加将 $z$ 乘以 $z^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.6.1.8.1

移动 $z^{3}$ 。

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 6 \cdot 3 (z^{3} z) + 6 z (- z)$

解题步骤 3.4.6.1.8.2

将 $z^{3}$ 乘以 $z$ 。

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解题步骤 3.4.6.1.8.2.1

对 $z$ 进行 $1$ 次方运算。

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 6 \cdot 3 (z^{3} z^{1}) + 6 z (- z)$

解题步骤 3.4.6.1.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 6 \cdot 3 z^{3 + 1} + 6 z (- z)$

解题步骤 3.4.6.1.8.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 6 \cdot 3 z^{4} + 6 z (- z)$

解题步骤 3.4.6.1.9

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 18 z^{4} + 6 z (- z)$

解题步骤 3.4.6.1.10

使用乘法的交换性质重写。

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 18 z^{4} + 6 \cdot - 1 z \cdot z$

解题步骤 3.4.6.1.11

通过指数相加将 $z$ 乘以 $z$ 。

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解题步骤 3.4.6.1.11.1

移动 $z$ 。

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 18 z^{4} + 6 \cdot - 1 (z \cdot z)$

解题步骤 3.4.6.1.11.2

将 $z$ 乘以 $z$ 。

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 18 z^{4} + 6 \cdot - 1 z^{2}$

解题步骤 3.4.6.1.12

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 18 z^{4} - 6 z^{2}$

解题步骤 3.4.6.2

将 $- 36 z^{4}$ 和 $18 z^{4}$ 相加。

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 18 z^{4} - 6 z^{2}$

解题步骤 3.5

合并 $81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 18 z^{4} - 6 z^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.5.1

从 $18 z^{4}$ 中减去 $18 z^{4}$ 。

$81 z^{6} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 0 - 6 z^{2}$

解题步骤 3.5.2

将 $81 z^{6} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6}$ 和 $0$ 相加。

$81 z^{6} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 6 z^{2}$

解题步骤 3.5.3

从 $6 z^{2}$ 中减去 $6 z^{2}$ 。

$81 z^{6} - 1 + 108 z^{6} + 0$

解题步骤 3.5.4

将 $81 z^{6} - 1 + 108 z^{6}$ 和 $0$ 相加。

$81 z^{6} - 1 + 108 z^{6}$

解题步骤 3.6

将 $81 z^{6}$ 和 $108 z^{6}$ 相加。

$189 z^{6} - 1$

微积分学 示例

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