微积分学示例

$f (x) = 8 x^{5} - 5 x^{4}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $8 x^{5} - 5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [8 x^{5}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$f' (x) = 8 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

解题步骤 1.1.2.3

将 $5$ 乘以 $8$ 。

$f' (x) = 40 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f' (x) = 40 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{4}$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 40 x^{4} - 5 (4 x^{3})$

解题步骤 1.1.3.3

将 $4$ 乘以 $- 5$ 。

$f' (x) = 40 x^{4} - 20 x^{3}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $40 x^{4} - 20 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [40 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (40 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [40 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为 $40$ 对于 $x$ 是常数，所以 $40 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $40 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f'' (x) = 40 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f'' (x) = 40 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

解题步骤 1.2.2.3

将 $4$ 乘以 $40$ 。

$f'' (x) = 160 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $- 20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 20 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 160 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} x^{3}$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 160 x^{3} - 20 (3 x^{2})$

解题步骤 1.2.3.3

将 $3$ 乘以 $- 20$ 。

$f'' (x) = 160 x^{3} - 60 x^{2}$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $160 x^{3} - 60 x^{2}$ 。

$160 x^{3} - 60 x^{2}$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $160 x^{3} - 60 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$160 x^{3} - 60 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2

从 $160 x^{3} - 60 x^{2}$ 中分解出因数 $20 x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $160 x^{3}$ 中分解出因数 $20 x^{2}$ 。

$20 x^{2} (8 x) - 60 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $- 60 x^{2}$ 中分解出因数 $20 x^{2}$ 。

$20 x^{2} (8 x) + 20 x^{2} (- 3) = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $20 x^{2} (8 x) + 20 x^{2} (- 3)$ 中分解出因数 $20 x^{2}$ 。

$20 x^{2} (8 x - 3) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$8 x - 3 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 2.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 2.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $8 x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $8 x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$8 x - 3 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $8 x - 3 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$8 x = 3$

解题步骤 2.5.2.2

将 $8 x = 3$ 中的每一项除以 $8$ 并化简。

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解题步骤 2.5.2.2.1

将 $8 x = 3$ 中的每一项都除以 $8$ 。

$\frac{8 x}{8} = \frac{3}{8}$

解题步骤 2.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.2.2.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 x}{8} = \frac{3}{8}$

解题步骤 2.5.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{3}{8}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $20 x^{2} (8 x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \frac{3}{8}$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $f (x) = 8 x^{5} - 5 x^{4}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = 8 {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 8 \cdot 0 - 5 {(0)}^{4}$

解题步骤 3.1.2.1.2

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 - 5 {(0)}^{4}$

解题步骤 3.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0$

解题步骤 3.1.2.1.4

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 3.1.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 3.1.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = 8 x^{5} - 5 x^{4}$ 中求得的点为 $(0, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 0)$

解题步骤 3.3

将 $\frac{3}{8}$ 代入 $f (x) = 8 x^{5} - 5 x^{4}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $\frac{3}{8}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{3}{8}) = 8 {(\frac{3}{8})}^{5} - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

对 $\frac{3}{8}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{3}{8}) = 8 (\frac{3^{5}}{8^{5}}) - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.2

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (\frac{3}{8}) = 8 (\frac{243}{8^{5}}) - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.3

对 $8$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (\frac{3}{8}) = 8 (\frac{243}{32768}) - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.4

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.4.1

从 $32768$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (\frac{3}{8}) = 8 (\frac{243}{8 (4096)}) - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.4.2

约去公因数。

$f (\frac{3}{8}) = 8 (\frac{243}{8 \cdot 4096}) - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.4.3

重写表达式。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.5

对 $\frac{3}{8}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} - 5 \frac{3^{4}}{8^{4}}$

解题步骤 3.3.2.1.6

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} - 5 \frac{81}{8^{4}}$

解题步骤 3.3.2.1.7

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} - 5 (\frac{81}{4096})$

解题步骤 3.3.2.1.8

乘以 $- 5 (\frac{81}{4096})$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.8.1

组合 $- 5$ 和 $\frac{81}{4096}$ 。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} + \frac{- 5 \cdot 81}{4096}$

解题步骤 3.3.2.1.8.2

将 $- 5$ 乘以 $81$ 。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} + \frac{- 405}{4096}$

解题步骤 3.3.2.1.9

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} - \frac{405}{4096}$

解题步骤 3.3.2.2

化简项。

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解题步骤 3.3.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243 - 405}{4096}$

解题步骤 3.3.2.2.2

从 $243$ 中减去 $405$ 。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{- 162}{4096}$

解题步骤 3.3.2.2.3

约去 $- 162$ 和 $4096$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.3.1

从 $- 162$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{2 (- 81)}{4096}$

解题步骤 3.3.2.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.3.2.1

从 $4096$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{2 \cdot - 81}{2 \cdot 2048}$

解题步骤 3.3.2.2.3.2.2

约去公因数。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{2 \cdot - 81}{2 \cdot 2048}$

解题步骤 3.3.2.2.3.2.3

重写表达式。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{- 81}{2048}$

解题步骤 3.3.2.2.4

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{3}{8}) = - \frac{81}{2048}$

解题步骤 3.3.2.3

最终答案为 $- \frac{81}{2048}$ 。

$- \frac{81}{2048}$

解题步骤 3.4

通过将 $\frac{3}{8}$ 代入 $f (x) = 8 x^{5} - 5 x^{4}$ 中求得的点为 $(\frac{3}{8}, - \frac{81}{2048})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\frac{3}{8}, - \frac{81}{2048})$

解题步骤 3.5

确定可能是拐点的点。

$(0, 0), (\frac{3}{8}, - \frac{81}{2048})$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3}{8}) \cup (\frac{3}{8}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.1) = 160 {(- 0.1)}^{3} - 60 {(- 0.1)}^{2}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 0.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 0.1) = 160 \cdot - 0.001 - 60 {(- 0.1)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $160$ 乘以 $- 0.001$ 。

$f'' (- 0.1) = - 0.16 - 60 {(- 0.1)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3

对 $- 0.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.1) = - 0.16 - 60 \cdot 0.01$

解题步骤 5.2.1.4

将 $- 60$ 乘以 $0.01$ 。

$f'' (- 0.1) = - 0.16 - 0.6$

解题步骤 5.2.2

从 $- 0.16$ 中减去 $0.6$ 。

$f'' (- 0.1) = - 0.76$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 0.76$ 。

$- 0.76$

解题步骤 5.3

在 $- 0.1$ ，二阶导数为 $- 0.76$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, 0)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 0)$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(0, \frac{3}{8})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0.1875$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.1875) = 160 {(0.1875)}^{3} - 60 {(0.1875)}^{2}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $0.1875$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0.1875) = 160 \cdot 0.00659179 - 60 {(0.1875)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $160$ 乘以 $0.00659179$ 。

$f'' (0.1875) = 1.0546875 - 60 {(0.1875)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3

对 $0.1875$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.1875) = 1.0546875 - 60 \cdot 0.03515625$

解题步骤 6.2.1.4

将 $- 60$ 乘以 $0.03515625$ 。

$f'' (0.1875) = 1.0546875 - 2.109375$

解题步骤 6.2.2

从 $1.0546875$ 中减去 $2.109375$ 。

$f'' (0.1875) = - 1.0546875$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 1.0546875$ 。

$- 1.0546875$

解题步骤 6.3

在 $0.1875$ ，二阶导数为 $- 1.0546875$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(0, \frac{3}{8})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(0, \frac{3}{8})$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(\frac{3}{8}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0.475$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.475) = 160 {(0.475)}^{3} - 60 {(0.475)}^{2}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $0.475$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0.475) = 160 \cdot 0.10717187 - 60 {(0.475)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $160$ 乘以 $0.10717187$ 。

$f'' (0.475) = 17.1475 - 60 {(0.475)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.3

对 $0.475$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.475) = 17.1475 - 60 \cdot 0.225625$

解题步骤 7.2.1.4

将 $- 60$ 乘以 $0.225625$ 。

$f'' (0.475) = 17.1475 - 13.5375$

解题步骤 7.2.2

从 $17.1475$ 中减去 $13.5375$ 。

$f'' (0.475) = 3.61$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $3.61$ 。

$3.61$

解题步骤 7.3

在 $0.475$ 处，二阶导数为 $3.61$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(\frac{3}{8}, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\frac{3}{8}, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(\frac{3}{8}, - \frac{81}{2048})$ 。

$(\frac{3}{8}, - \frac{81}{2048})$

解题步骤 9

微积分学 示例

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