微积分学示例

$f (x) = x \sqrt{16 - x^{2}}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{16 - x^{2}}$ 重写成 ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 16 - x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $16 - x^{2}$ 。

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.3.3

使用 $16 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.6

在公分母上合并分子。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.7

化简分子。

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解题步骤 1.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.8

合并分数。

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解题步骤 1.1.8.1

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = x (\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.8.4

组合 $\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (16 - x^{2}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.9

根据加法法则， $16 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (16) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.10

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.11

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.12

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.14

合并分数。

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解题步骤 1.1.14.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.14.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.14.3

组合 $\frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.16

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.18

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.19

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.20

约去公因数。

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解题步骤 1.1.20.1

从 $2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.20.2

约去公因数。

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.20.3

重写表达式。

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.21

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.22

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

解题步骤 1.1.23

将 ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.24

要将 ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.25

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.26

通过指数相加将 ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.26.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.26.2

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.26.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.26.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 16 - x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.27

化简 ${(16 - x^{2})}^{1}$ 。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 16 - x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.28

从 $- x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.29

重新排序项。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = - 2 x^{2} + 16$ 且 $g (x) = {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 16) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

将 ${({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 16) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 16) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.2.2.2

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 16) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.3

化简。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 16) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.4

求微分。

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解题步骤 1.2.4.1

根据加法法则， $- 2 x^{2} + 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.4.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16)) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (16)) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.4.4

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + \frac{d}{d x} (16)) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.4.5

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.4.6

将 $- 4 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = - x^{2} + 16$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x^{2} + 16$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.5.3

使用 $- x^{2} + 16$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.8

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.9

化简分子。

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解题步骤 1.2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.10

合并分数。

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解题步骤 1.2.10.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.10.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(- x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{{(- x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.10.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(- x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.11

根据加法法则， $- x^{2} + 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)))}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.12

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16)))}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (16)))}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.14

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (16)))}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.15

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.16

化简项。

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解题步骤 1.2.16.1

将 $- 2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.16.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.16.3

组合 $\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.16.4

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.17

约去公因数。

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解题步骤 1.2.17.1

从 $2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.17.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.17.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{- x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.18

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.19

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + 1 (- 2 x^{2} + 16) (\frac{x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.20

将 $- 2 x^{2} + 16$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + (- 2 x^{2} + 16) (\frac{x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.21

化简。

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解题步骤 1.2.21.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.21.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 16) (\frac{x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.21.1.2

将 $- 2 x^{2} + 16$ 乘以 $\frac{x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 16) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.21.1.3

从 $- 2 x^{2} + 16$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.2.21.1.3.1

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 16) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.21.1.3.2

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (8)) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.21.1.3.3

从 $2 (- x^{2}) + 2 (8)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.21.1.4

要将 $- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.21.1.5

组合 $- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x$ 和 $\frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.21.1.6

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.21.1.7

以因式分解的形式重写 $\frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 1.2.21.1.7.1

从 $- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 8) x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 1.2.21.1.7.1.1

从 $- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.21.1.7.1.2

从 $2 (- x^{2} + 8) x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.21.1.7.1.3

从 $2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} + 8)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.21.1.7.2

合并指数。

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解题步骤 1.2.21.1.7.2.1

通过指数相加将 ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.21.1.7.2.1.1

移动 ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 ({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.21.1.7.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.21.1.7.2.1.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.21.1.7.2.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{2}{2}} - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.21.1.7.2.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 16) - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.21.1.7.2.2

化简 $- 2 {(- x^{2} + 16)}^{1}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 16) - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.21.1.8

化简分子。

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解题步骤 1.2.21.1.8.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2}) - 2 \cdot 16 - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.21.1.8.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 2 \cdot 16 - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.21.1.8.3

将 $- 2$ 乘以 $16$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 32 - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.21.1.8.4

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 32 + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.21.1.8.5

将 $- 32$ 和 $8$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.21.2

合并项。

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解题步骤 1.2.21.2.1

将 $\frac{\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 16}$

解题步骤 1.2.21.2.2

将 $\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{- x^{2} + 16}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 16)}$

解题步骤 1.2.21.2.3

通过指数相加将 ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- x^{2} + 16$ 。

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解题步骤 1.2.21.2.3.1

将 ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- x^{2} + 16$ 。

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解题步骤 1.2.21.2.3.1.1

对 $- x^{2} + 16$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 16)}$

解题步骤 1.2.21.2.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 1.2.21.2.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.21.2.3.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

解题步骤 1.2.21.2.3.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$2 x (x^{2} - 24) = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x^{2} - 24 = 0$

解题步骤 2.3.2

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.3.3

将 $x^{2} - 24$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $x^{2} - 24$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 24 = 0$

解题步骤 2.3.3.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 24 = 0$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.1

在等式两边都加上 $24$ 。

$x^{2} = 24$

解题步骤 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{24}$

解题步骤 2.3.3.2.3

化简 $\pm \sqrt{24}$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.3.1

将 $24$ 重写为 $2^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.3.1.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \pm \sqrt{4 (6)}$

解题步骤 2.3.3.2.3.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}$

解题步骤 2.3.3.2.3.2

从根式下提出各项。

$x = \pm 2 \sqrt{6}$

解题步骤 2.3.3.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.3.3.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2 \sqrt{6}$

解题步骤 2.3.3.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2 \sqrt{6}$

解题步骤 2.3.3.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2 \sqrt{6}, - 2 \sqrt{6}$

解题步骤 2.3.4

最终解为使 $2 x (x^{2} - 24) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 2 \sqrt{6}, - 2 \sqrt{6}$

解题步骤 2.4

排除不能使 $\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ 成立的解。

$x = 0$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $f (x) = x \sqrt{16 - x^{2}}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = (0) \sqrt{16 - {(0)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 \sqrt{16 - 0}$

解题步骤 3.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 \sqrt{16 + 0}$

解题步骤 3.1.2.3

将 $16$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 \sqrt{16}$

解题步骤 3.1.2.4

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$f (0) = 0 \sqrt{4^{2}}$

解题步骤 3.1.2.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (0) = 0 \cdot 4$

解题步骤 3.1.2.6

将 $0$ 乘以 $4$ 。

$f (0) = 0$

解题步骤 3.1.2.7

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = x \sqrt{16 - x^{2}}$ 中求得的点为 $(0, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 0)$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.1) = \frac{2 (- 0.1) ({(- 0.1)}^{2} - 24)}{{(- {(- 0.1)}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 0.1$ 。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.2 ({(- 0.1)}^{2} - 24)}{{(- {(- 0.1)}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 0.2$ 乘以 ${(- 0.1)}^{2} - 24$ 。

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{(- {(- 0.1)}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1.1

对 $- 0.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{(- 1 \cdot 0.01 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0.01$ 。

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{(- 0.01 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 0.01$ 和 $16$ 相加。

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{15.99}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.2.3

将 $15.99$ 重写为 ${3.9987498}^{2}$ 。

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{({3.9987498}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.2.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{3.9987498}^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 5.2.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.5.1

约去公因数。

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{3.9987498}^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 5.2.2.5.2

重写表达式。

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{3.9987498}^{3}}$

解题步骤 5.2.2.6

对 $3.9987498$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{63.94000937}$

解题步骤 5.2.3

用 $4.798$ 除以 $63.94000937$ 。

$f'' (- 0.1) = 0.07503908$

解题步骤 5.2.4

最终答案为 $0.07503908$ 。

$0.07503908$

解题步骤 5.3

在 $- 0.1$ 处，二阶导数为 $0.07503908$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, 0)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, 0)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(0, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.1) = \frac{2 (0.1) ({(0.1)}^{2} - 24)}{{(- {(0.1)}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $2$ 乘以 $0.1$ 。

$f'' (0.1) = \frac{0.2 ({0.1}^{2} - 24)}{{(- {0.1}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $0.2$ 乘以 ${0.1}^{2} - 24$ 。

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{(- {0.1}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.1.1

对 $0.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{(- 1 \cdot 0.01 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 6.2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0.01$ 。

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{(- 0.01 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $- 0.01$ 和 $16$ 相加。

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{15.99}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 6.2.2.3

将 $15.99$ 重写为 ${3.9987498}^{2}$ 。

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{({3.9987498}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 6.2.2.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{3.9987498}^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 6.2.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.5.1

约去公因数。

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{3.9987498}^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 6.2.2.5.2

重写表达式。

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{3.9987498}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.6

对 $3.9987498$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{63.94000937}$

解题步骤 6.2.3

用 $- 4.798$ 除以 $63.94000937$ 。

$f'' (0.1) = - 0.07503908$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $- 0.07503908$ 。

$- 0.07503908$

解题步骤 6.3

在 $0.1$ ，二阶导数为 $- 0.07503908$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(0, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(0, \infty)$ 上递减

解题步骤 7

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(0, 0)$ 。

$(0, 0)$

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例